¿Existe el concepto de límite suave?

Question

Dejemos que $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ ser categorías, $\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ sea un functor. Existe una noción de limitar de $\mathcal{F}$ , es decir, un par $(\ell,\varphi)$ , donde $\ell\in\text{Obj}(\mathcal{D})$ es un objeto y $\varphi\colon\Delta_{\ell}\to\mathcal{F}$ es una transformación natural del functor constante a $\mathcal{F}$ , tal que para cualquier otro par $(d,\alpha)$ del mismo tipo (que se llama un cono ) existe un morfismo único $f\colon d\to\ell$ , de tal manera que $\varphi\circ\Delta_f=\alpha$ .

Obviamente, el concepto de límite es una conjunción de las dos propiedades:

1). para cada cono $(d,\alpha)$ existe un morfismo $f\colon d\to\ell$ , de tal manera que $\varphi\circ\Delta_f=\alpha$ ;

2). si tal morfismo existe, entonces es único.

Puede interesarnos lo que ocurre si rechazamos uno de estos requisitos. Por ejemplo, si rechazamos la condición de unicidad, entonces llegamos al concepto de límite débil .

Pregunta: ¿Qué concepto obtenemos si rechazamos la condición de existencia?

Por supuesto, podemos definirlo y llamarlo límite suave . También podemos encontrar algunos ejemplos (el conjunto vacío es un objeto terminal suave de $\mathbf{Set}$ ). Mi pregunta es si se ha estudiado en alguna parte o si se trata de un caso especial de otro concepto categórico-teórico conocido.

Answer 1

Lo que usted llama "objeto terminal blando" se conoce como objeto subterminal puede ser caracterizado como un objeto tal que las dos proyecciones $X\times X\to X$ y la diagonal $X\to X\times X$ son isomorfismos, o, equivalentemente, como un subobjeto del objeto terminal, si lo hay.

Más generalmente, una familia de morfismos $\alpha_i:A\to X_i$ para $i\in I$ tal que $\alpha_i\circ f=\alpha_i\circ g$ para todos $i$ implica $f=g$ se llama familia conjunta monica (o monofuente), y esta condición es equivalente al mapa canónico $A\to \prod_i X_i$ siendo un monomorfismo (si el producto existe). Así que supongo que podrías llamar a tus "límites suaves" sublímites, o conjuntamente conos mónicos.