Si para algunos$n\in\mathbb{N}$,$T^{n+1}\left( X\right) =T^{n}\left( X\right)$, ¿tenemos$T^{n}\left(X\right) $ cerrado?

Question

Deje que $X$ sea un espacio de Banach, y deje que $T$ sea un operador delimitado en $X$ de manera tal que por $ n \ in% TCIMACRO {\ U {2115}}%% BeginExpansion \ mathbb {N}% EndExpansion$, $ T ^ {n +1} \ left (X \ right) = T ^ {n} \ left (X \ right) $ .

¿Tenemos $T^{n}\left( X\right) $ cerrado?

Answer 1

Esta es una buena pregunta. Aunque no tengo una respuesta completa todavía, me siento la necesidad de compartir lo que he descubierto hasta ahora.

Como he mencionado en el primer comentario, podemos suponer $n=1$. También pensé que por el contrario a su declaración es equivalente a la siguiente.

Declaración equivalente: existe una incompleta normativa espacio vectorial $X$ y algunos surjective $T\in B(X)$ que cada Cauchy secuencia que se asigna a una secuencia convergente.

Prueba: Contrario a su declaración de $\implies$ Equivalente declaración: Vamos a tener un espacio de Banach $X$ y algunos $T\in B(X)$ con $T^2(X)=T(X)$, mientras que $T(X)$ no está cerrado. A continuación, $T(X)$ es incompleta normativa espacio vectorial, y $T|_{T(X)}\in B(T(X))$ es surjective. Además, para cada secuencia de Cauchy $\{x_i\}$ en $T(X)$ hay un límite de $x\in X$, lo $Tx_i\to Tx\in T(X)$.

Prueba: declaración Equivalente $\implies$ Contrario a su declaración: supongamos que tenemos una incompleta normativa espacio vectorial $X$ y algunos surjective $T\in B(X)$ que cada Cauchy secuencia que se asigna a una secuencia convergente. Deje $\overline{X}$ denotar la finalización de $X$. Definir $S\in B(\overline{X})$ por $S(\{x_i\}):=\lim Tx_i$. A continuación, $S(S(\overline{X}))=S(\overline{X})=X$ e $X$ no está cerrado en $\overline{X}$.

No estoy muy seguro de si esta equivalencia es útil, pero yo ya encontrar algunos incompleta normativa vector de espacio para que usted puede probar que no existe surjective delimitada operador lineal que los mapas de cada secuencia de Cauchy para una secuencia convergente. Es decir, el espacio vectorial $(d,\|\cdot\|_p)$ de todas las secuencias finitas de números reales.

Prueba: Vamos a $T\in B(d)$ ser surjective. A continuación tenemos algunos secuencia $\{x_i\}$ tal que $Tx_i=e_i$. Tenemos que $$y_i:=\sum_{k=1}^i\frac{x_k}{\|x_k\|k^2}$$ is a Cauchy sequence, and $\{Ty_i\}$ no es convergente.

La razón de que esta prueba no funciona para general incompleta normativa espacios vectoriales es que no podemos simplemente a la conclusión de que $\{Ty_i\}$ no es convergente. Todavía no estoy seguro de si existe un surjective $T\in B(C[0,1],\|\cdot\|_2)$ que los mapas de Cauchy secuencias de secuencias convergentes, por ejemplo. Esto es lo más lejos tengo hasta el momento.