Satisface a grupo no cíclico de orden $p^3$ $G \simeq H \rtimes_{\theta}K$

Question

Deje $G$ ser un no-grupo cíclico de orden $p^3$ por un extraño prime $p$. Demostrar que $G \simeq H \rtimes_{\theta}K$, donde $H$ es un subgrupo normal de $G$ orden $p^2$, $K$ es un subgrupo de orden $p$, e $\theta : K \to Aut(H)$ es un homomorphism.

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Me las arreglé para demostrar que existe un subgrupo normal $H$ orden $p^2$. Luego me tomó un poco de $g \in G-H$. Si $g$ es de orden $p$, estoy hecho desde $G \simeq H \rtimes \langle g \rangle $. Pero, ¿y si todos los $g \in G - H$ son de orden $p^2 $?

Answer 1

El resultado se sigue inmediatamente si todos los elementos de a$G$ tienen orden de $1$ o $p$, por lo que podemos asumir que existe un elemento de orden $p^2$. Esto genera un subgrupo cíclico de índice $p$, lo cual es normal en $G$, por lo que podemos asumir que $H$ es cíclico de orden $p^2$.

Así que vamos a $g \in G \setminus H$, y se supone que $g$ tiene orden de $p^2$ (si se ha pedido a$p$ a continuación, se realiza). Por lo $g^p = h^p$ para algunos $h \in H$. Pretendemos que $(gh^{-1})^p=1$, y, por tanto, $gh^{-1}$ tiene orden de $p$ y hemos terminado.

Este es inmediata si $G$ es abelian, así que supongo que no. A continuación, $[G,G]=Z(G)$ tiene orden de $p$, por lo que los conmutadores son centrales, y $(xy^{-1})^p = x^py^{-p}[y^{-1},x]^{p(p-1)/2}$ (donde $[a,b]$ denota el colector $a^{-1}b^{-1}ab$).

Entonces, desde el $p$ es impar y $[y^{-1},x]$ tiene orden de $p$, obtenemos $[y^{-1},x]^{p(p-1)/2}=1$ y la demanda de la siguiente manera. (Tenga en cuenta que este resultado es false cuando se $p=2$, y el grupo de cuaterniones $Q_8$ es un contraejemplo.)