Problemas por la aridad de la comprensión de los términos de un curso en álgebra Universal.

Question

En Un Curso de Álgebra Universal en la definición de 10.1 términos introducidos.

Lo que me desconcierta es la declaración sobre arity:

"Un plazo $p$ es $n$-ary si el número de variables que aparecen explícitamente en $p$ es $\leq n$."

Eso no significa que el arity de un plazo $p$ es más limitada, pero no definido, y puede tomar varios valores?

Si, por ejemplo, $p$ es una variable, a continuación, puede cada entero $\geq1$ ser presentada como arity de $p$?

Esto parece ser confirmado en la definición 10.2 (también preocupante mí) donde por plazo $p(x_1,\dots,x_n):=x_i\in X$ un mapeo $p^{\mathbf A}:A^n\to A$ es prescrito por $(a_1,\dots,a_n)\mapsto a_i$.

Yo realmente no entiendo a esta definición.

Si acabo de empezar con el término $x$ que es una variable, a continuación, de acuerdo a def. 10.2 $x^{\mathbf A}$ debe ser algo de la función $A^n\to A$. Pero si es así, entonces ¿qué es $n$ (puede tomar varios valores?) y cómo es la función prescrita?

Answer 1

Creo que lo hemos conseguido (feo como parece). El punto es que un término en su propia no es un "objeto", y por tanto no tiene un único arity.

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Ciertamente, no hay ningún problema en hablar acerca de la arity de un mapa de $A^n$ a $A$ (es decir, sólo $n$). El punto es que un mismo término puede tener varias interpretaciones diferentes funciones, y estas dan lugar a distintos arities. El punto de esto.

Específicamente, para cualquier plazo $p$ y cualquier conjunto $V$ de variables, tales que cada una de las variables que ocurren en $p$ es de $V$, podemos ver $p$ como un mapa de $p_V: A^V\rightarrow A$. Tenga en cuenta que la traducción de $(p,V)\mapsto p_V$ es totalmente sencillo; esta es la razón por la que uno va (por desgracia) a menudo se confunden $p$ e $p_V$ cuando $V$ es claro en el contexto.

• Tenga en cuenta que no hay ninguna obligación de aquí que $V$ ser finito!

A la luz de esto, no es demasiado extraño para permitir un término que tiene varios arities - el punto es que, en cierto sentido, un término que en sí misma es incompleta (por similitud espiritual, uno podría argumentar que la gráfica de una función es incompleto ya que no se lo dirá a usted el codominio).

Answer 2

Personalmente, yo ni siquiera definir arity por un término; sólo quiero definir para un funcionamiento a largo plazo. Permítanme tratar de ser más precisos:

Deje $X$ ser un conjunto de símbolos, denominados variables, y deje $\mathcal{F}$ ser un conjunto de operación de los símbolos de tal manera que cada símbolo de operación $f$ tiene un arity, $\mathrm{ar}(f)$, que es un entero no negativo. El conjunto $\mathrm{T}(X)$ de todos los términos en $X$ se define de forma recursiva:

1. cada variable $x$ o símbolo de operación $c$ con $\mathrm{ar}(c)=0$ es de $\mathrm{T}(X)$,
2. si $t_1,\dots,t_k$ son términos y $f$ es un símbolo de operación con $\mathrm{ar}(f)=n$, a continuación, $f(t_1,\dots,t_n)$ es de $\mathrm{T}(X)$.

Ahora, vamos a $X_k=\{x_1,\dots,x_k\}$ y deje $\mathbf{A}$ ser un álgebra de tipo $\mathcal{F}$. Para cada plazo $t$ en $\mathrm{T}(X_k)$ podemos definir un $k$-ary operación $t^A$ a $A$ como sigue:

1. si $t=x_i$ o $t=c$ con $\mathrm{ar}(c)=0$, a continuación, $t^A:A^k\to A$ es definido por $t^A(a_1,\dots,a_k)=a_i$ o $t^A(a_1,\dots,a_k)=c^A$, respectivamente.
2. si $t=f(t_1,\dots,t_n)$, a continuación, $t^A(a_1,\dots,a_k)=f^A(t_1^A(a_1,\dots,a_k),\dots,t_n^A(a_1,\dots,a_k))$.

La cosa importante a observar es que los términos son sólo formales de cadenas de símbolos, mientras que cuando asignamos significado a un término en un álgebra que es como llegamos al término de la operación. Basado en esto, siento que no hay razón para definir arity de un término y el arity de un funcionamiento a largo plazo es sólo el arity de la operación. Voy a concluir con un ejemplo:

Deje $\mathcal{F}=\{+,-,0\}$. A continuación, $t=(x_1+(-x_2))+x_3$ es de $\mathrm{T}(X_3)$, pero también es en $\mathrm{T}(X_k)$ cualquier $k\geq 3$. Por tanto, dada un álgebra $\mathbf{A}$ tipo $\mathcal{F}$, podemos definir el término de la operación $t^A:A^3\to A$ por $t(a_1,a_2,a_3)=(a_1+(-a_2))+a_3$ o podríamos definir $t^A:A^k\to A$ cualquier $k\geq 3$ por $t(a_1,\dots,a_k)=(a_1+(-a_2))+a_3$. Este primer plazo de la operación ha arity igual a 3 y el segundo tiene arity igual a $k$, pero no hay ninguna razón para definir arity para $t$.