Cómo resolver una ecuación diferencial trigonométrica

Question

Saludos, he estado intentando abordar una EDO con funciones trigonométricas que me ha parecido interesante:

$$y'+x\sin(2y)=xe^{-x^2}\cos^2(y)$$

Intenté encontrar un resultado con la página web de wolfram (versión gratuita) y obtuve este:

$$y=\arctan\left(\frac{1}{2}e^{-x^2}(c+x^2)\right)$$

He intentado abordar este ejercicio por sustitución de variables, también de variables separables y no he tenido suerte por series de potencias, y no sé si métodos como los de Ricatti y Bernoulli son apropiados para este caso.

Esto es sólo por curiosidad académica y me gustaría entender mejor este tipo de ODEs. Por lo tanto, requiero cualquier orientación o pasos iniciales o explicaciones sobre cómo abordar este tipo de ejercicios.

Gracias por su atención.

Answer 1

En general, esto es tan no lineal que no se puede esperar una solución cerrada. Sin embargo, al tratarse de un ejercicio es muy probable que exista una solución cerrada, por lo que hay que tener en cuenta las partes de esta ecuación. Con algo de experiencia se puede ver que dividiendo por $\cos^2y$ da $$ \frac{y'}{\cos^2 y}+2x\tan y=xe^{-x^2} $$ que tiene la forma $$ f'(y)y'+2xf(y)=xe^{-x^2} $$ que ahora es lineal en $u=f(y)=\tan(y)$ . Para esta ecuación lineal, $e^{x^2}$ es un factor integrador que milagrosamente también simplifica el lado derecho. Después de integrar se obtiene $$ e^{x^2}\tan(y(x))=\frac12x^2+c. $$

Answer 2

Cuando vi la ecuación que contiene $\sin(2y)$ y $\cos^2(y)$ inmediatamente pensé en la subsitución del ángulo medio tangente (llamémosla intuición ).

Por lo tanto, dejemos que $y=\tan ^{-1}(z)$ lo que reduce la ecuación a $$z'+2 x z=e^{-x^2} x$$ La parte homogénea es sencilla $$z'+2 x z=0 \implies z=C \,e^{-x^2}$$ Ahora, la variación de los parámetros para obtener $$C'=x \implies C=\frac 12 x^2+c_1\implies z=e^{-x^2}\left(\frac 12 x^2+c_1 \right)$$ y, finalmente, la solución.