$A$ es una matriz invertible de $n \times n$, donde $n$ es un número par. Dado que $A^3 + A = 0$, calcula $\det(A^4)$. ¿Hay demasiada información?

Question

$A$ es una matriz invertible con $n$ columnas y $n$ filas, donde $n$ es un número par. Se nos da que $A^3+A=0$ y necesitamos calcular $\det(A^4)$. Aquí está mi solución: $$A^3+A=0 \implies A^{-1}(A^3+A)=0 \implies A^2=-I \implies A^4=I \implies \det(A^4)=1.$$ Pero no utilicé el hecho de que $n$ es par. ¿Estoy equivocado, o esto no es necesario? Si estoy equivocado, por favor no me digas la solución aún. Solo dime dónde estoy equivocado. ¡Gracias!

Answer 1

No es posible que $n$ sea impar, lo cual se puede deducir de tu solución:

$ A^2 = -I_n \; \Rightarrow \; \det (A^2) = ( \det A )^2 = \det (-I_n) = (-1)^n$. Pero $A$ es invertible, lo que significa que $( \det A )^2 > 0$, lo que significa que $(-1)^n > 0$, lo cual solo ocurre cuando $n$ es par.

Por lo tanto, no fue necesario en tu solución, sino que la pregunta se descompone si $n$ es impar.