Rotación total de un círculo (u otra curva cerrada) al "rodar" por una curva en $\mathbb{R}^2$

Question

Como calcular cuánto gira un círculo cuando se "enrolla" a lo largo de una curva en $\mathbb{R}^2$ La forma más intuitiva para mí de encontrar el número de rotaciones es:

$S/C+W/(2\pi)$

• $S$ es la longitud de arco de la curva
• $C$ es la circunferencia del círculo
• $W$ es la curvatura total de la curva

Sin embargo, esto parece estar de acuerdo con:

$T/C$

• $T$ es la longitud de arco de la trayectoria del centro del círculo

¿Alguien puede explicar intuitivamente por qué esto último funciona tan bien?

También me pregunto si $T/C$ sigue funcionando si se sustituye el círculo por alguna curva cerrada (por lo que $C$ es la longitud de arco de la curva cerrada y $T$ es la longitud de arco de la trayectoria del centro de masa de la curva cerrada). Editar : Después de escribir las integrales, creo que una generalización sensata podría (en lugar del centro de la masa) tener más que ver con el centro del círculo oscilante de la curva cercana en su intersección actual con la curva en la que se está rodando.

$\ $
Editar: En otras palabras:
Dejemos que $\ c:[a,b]\to\mathbb{R}^2\ $ sea alguna curva suave a lo largo de la cual un círculo de radio $\text{abs}(r)$ se está rodando.
Dejemos que $\ \text{center}:[a,b]\to\mathbb{R}^2\ $ sea el centro del círculo dado por: $$\text{center}(t)=c(t)+r\frac{\{c_2'(t),-c_1'(t)\}}{||c'(t)||_2}$$ Esa es la señal de $r$ determina en qué lado de la curva se está rodando el círculo.

Expresadas con integrales, las fórmulas para la rotación total son

$S/C+W/(2\pi)={\large\int_a^b}\dfrac{||c'(t)||_2}{2r\pi}dt+ {\huge\int_{\large a}^{\large b}}\dfrac{\det{\left( \begin{array}{cc} c_1'(t) & c_2'(t) \\ c_1''(t) & c_2''(t) \\ \end{array} \right)}}{||c'(t)||_2^2\cdot (2\pi)}dt$

$T/C = {\large\int_a^b}\dfrac{||\text{center}'(t)||_2}{2\,\text{abs}(r)\pi}\cdot\text{sign}\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{\det{\left( \begin{array}{cc} c_1'(t) & c_2'(t) \\ c_1''(t) & c_2''(t) \\ \end{array} \right)}}{||c'(t)||_2^3}\right)dt$

Ambos están influenciados por los signos de $r$ y el determinante de curvatura.

Answer 1

¿Alguien puede explicar intuitivamente por qué esto último funciona tan bien?

Es más fácil de entender si la curva está parametrizada por la longitud de arco. Además, me resulta más fácil entender la relación $T=S+rW$ relacionando longitudes absolutas que la relación $T/C=S/C+W/(2\pi)$ relacionando los recuentos de las rotaciones.

Así que dejemos $s$ parametrizar la curva por la longitud de arco. También voy a suponer que el círculo giratorio está a lo largo del "exterior" de la curva todo el tiempo, y que $\kappa$ es distinto de cero. En el punto de tangencia se encuentra el círculo osculante de radio $1/\kappa(s)$ . El círculo giratorio tiene un radio $r$ . Así que el centro del círculo giratorio está (por un momento infinitesimal) trazando una trayectoria circular de radio $r+1/\kappa(s)$ .

En una longitud corta $ds$ dentro de la curva, la longitud del arco circular que recorre el centro se puede calcular mediante un razonamiento proporcional:

$$dt=\frac{r+1/\kappa(s)}{1/\kappa(s)}ds=(1+r\kappa(s))ds$$

Ahora integra sobre $s$ y se obtiene la longitud de arco por la que pasa el centro. Es decir, $$T=\int_0^S(1+r\kappa(s))\,ds$$

Pero divídelo en dos integrales: $$\begin{align} T&=\int_0^Sds+r\int_0^S\kappa(s)\,ds\\ T&=S+rW \end{align}$$

Ahora divide por $C$ para obtener la forma que ha observado.

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Si el círculo giratorio está en el "interior", entonces el mismo razonamiento cambia la integral para $T$ a $$T=\int_0^S(1-r\kappa(s))\,ds$$ Si la curva tiene curvatura cero en todo su recorrido, entonces $$T=\int_0^Sds=S$$ Y, por último, para las curvas más complicadas, si se pueden dividir por partes en curvas de estos tres tipos, estás listo.