¿Cuál es la dimensión del espacio de todos los Estados de puro qudit de dimensión $D$?

Question

Es bien conocido que las dos dimensiones de los estados, es decir, los qubits, puede ser representada mediante la esfera de Bloch: todos los estados puros están en la superficie de una imagen tridimensional de la esfera, mientras que todos los estados mixtos son en su interior.

Esto es consistente con un simple parámetro de conteo argumento: el espacio de todos los qubits es el espacio de todos los $2\times 2$ positivo Hermitian a los operadores de la unidad de seguimiento, que tiene dimensión $2^2-1=3$, mientras que para los estados puros sólo hay $2\times2 - 2=2$ real grados de libertad (dos coeficientes complejos menos de normalización y global de la fase). La misma conclusión se puede llegar por considerar que los estados puros son un subconjunto de todos los estados que satisfagan la única restricción adicional de que el $\operatorname{Tr}(\rho^2)=1$.

Lo que sucede en las dimensiones superiores qudits? Vamos a considerar los estados de vida en un espacio de Hilbert de dimensión $D$. El espacio de todos los estados es de nuevo el espacio de positivo Hermitian $D\times D$ a los operadores de la unidad de seguimiento, que tiene dimensión $D^2-1$. Los estados puros de otra parte puede ser representado como la longitud-$D$ vectores complejos, por lo que el número de grados de libertad, después de haber considerado la fase global y la normalización de la condición, parece ser $2D-2$.

Sin embargo, el conjunto de estados puros es también igual a el subconjunto de todos los estados de la $\rho$ tal que $\operatorname{Tr}(\rho^2)=1$. Ahora esto parece como una única condición, que, por tanto, me hacen pensar que la dimensión del espacio de pura $D$-dimensional de los estados es $D^2-2$, en contraste directo con el argumento anterior.

¿Cuál es la manera correcta de pensar acerca de esto?

Answer 1

El espacio de Hilbert de contar con lo que consigue $2D-2$ es correcta. Cuando pensamos acerca del parámetro de conteo en la forma en que usted tiene en esta cuestión, estamos suponiendo implícitamente que las ecuaciones son lo suficientemente "genérico", de modo que las intersecciones de trabajo de la manera que lo hacen en álgebra lineal. Este no es siempre el caso, especialmente cuando consideramos las ecuaciones con las singularidades o que se definen en espacios con límites. Para un ejemplo extremo, en una normativa $N$-dimensiones reales de espacio vectorial, la ecuación de $|\vec v|^2 = 0$ es una sola ecuación, pero se reduce la $N$-dimensional espacio de una (aparentemente $0$-dimensional) punto.

Cuando escribimos la ecuación de $\text{Tr} \rho^2 = 1$, un poco más complicado que la versión de la misma cosa que está sucediendo. Si usted diagonalize la densidad del operador, obtendrá un conjunto de $D$ real de los autovalores $\lambda_i$. Estos deben ser no negativos para una densidad de operador. Además, sabemos que $\rho$ tiene unidad de seguimiento, lo que significa que $\sum_i \lambda_i = 1$. Esto significa que cada una de las $\lambda_i \in [0,1]$. Bajo estas condiciones, $\lambda_i \ge \lambda_i^2$ con la igualdad sólo para $\lambda_i \in \{0,1\}$. Por lo tanto $\text{Tr} \rho^2 = \sum_i \lambda_i^2 \le \text{Tr} \rho = 1$, y los dos son iguales sólo si todas las $\lambda_i$ son $0$ o $1$, lo que significa que exactamente uno es $1$ y el resto se $0$. Tenga en cuenta que esto es sólo decir que $\rho$ es una proyección en el único vector propio con autovalor $1$, lo que significa que $\rho = | \psi \rangle \langle \psi |$ algunos $|\psi\rangle$.

Tengamos también en cuenta que, en general, el límite del conjunto de los estados mixtos es no el conjunto de estados puros. Estar en el límite significa que (sólo) una desigualdad se convierte en una igualdad, lo que significa que sólo se necesita una $\lambda_i = 0$. Siendo un estado puro, es mucho más fuerte de condición. Creo que esto puede ser parte de su confusión como el límite del conjunto de los estados mixtos tiene dimensión $D^2 - 2$. La esfera de Bloch es un ineficiente ejemplo, en este caso, porque desde el espacio de Hilbert es sólo $2$ dimensiones, un autovalor de ir a $0$ es equivalente a ser un estado puro, pero para mayor $D$ eso no es cierto.

Tenga en cuenta que esto todavía se ve como sólo imponer $D$ real de ecuaciones, es decir, uno por cada valor propio, es decir, la ingenua dimensión contar todavía parece estar equivocado. ¿Por qué es eso? La respuesta está relacionada con el hecho de que nuestro resultado final tiene una degeneración; en concreto tenemos $D-1$ vectores propios de a $\rho$ con autovalor $0$. Así, el sistema, que se describe en esta forma, tiene una ficticia $U(D-1)$ simetría de rotación de los vectores. Si se aplica dicha rotación, la densidad operador no cambia, pero nuestro ingenuo contar no darse cuenta de eso. Nos gustaría pensar que debemos restar la dimensionalidad de $U(D-1)$, es decir,$(D-1)^2$. Pero esto $U(D-1)$ no actuar libremente; una transformación que sólo cambia la fase de un determinado $|\psi_i \rangle$ hojas de $|\psi_i \rangle \langle \psi_i |$ invariantes, lo que significa que cualquier base para el espacio de Hilbert es estabilizado por $U(1)^{D}$, de modo que en realidad tiene sólo $(D-1)^2 - D$ real de la ecuación de despidos. Ahora podemos obtener, finalmente, el derecho a contar:

$$(D^2 - 1) - D - ((D-1)^2 - D) = 2D-2.$$

El "truco" que hace que este trabajo de conteo, mientras que el más ingenuo de contar falla, es que estas ecuaciones pueden ser impuestas en el espacio afín de seguimiento-clase unidad de seguimiento a los operadores sin requerir positiva semi-precisión y aún así obtener el conjunto de la derecha de estados puros. Positivo semidefiniteness es el conjunto de desigualdades que limita el espacio de estados mixtos, y si no nos la imponen no tenemos los problemas que surgen de antes, donde las soluciones a las ecuaciones están en el límite del espacio.

Answer 2

Se puede llegar a la conclusión correcta a partir de $$ \vert 1\rangle=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array}\right) $$ y el simple matriz de densidad de $\rho_1=\vert 1\rangle\langle 1\vert$. Claramente, $\rho_1$ se deja invariante por todas las transformaciones del tipo $$ T= \left(\begin{array}{cc} e^{i\phi}&0\\ 0&U(n-1)\end{array}\right) $$ es decir,$T\rho_1 T^{-1}=\rho_1$. Una transformación general de la $\rho_1$ unitario matrices depende de $n^2-1$ parámetros: $U(n)$ $n^2$ parámetros, pero una fase general dejará $\rho_1$ invariante. La transformación de $T$ depende de $(n-1)^2$ parámetros. Así, el total de parámetros para especificar un $n$-dit es $$ n^2-1 - (n-1)^2 = 2n-2. $$