Probar o refutar que una desigualdad implica otra desigualdad.

Question

Me pregunto si $|a| > |b|$ implica $|\frac{b+b^{2}}{a+a^{2}}| < 1$ donde $a$ $b$ son números reales. He probado numéricamente con muchos casos y he encontrado que esto es cierto en todas mis pruebas.

Sabemos que $|\frac{b+b^{2}}{a+a^{2}}| < 1$ es equivalente a decir $|a + a^{2}| > |b + b^{2}|$, y yo creo que esto es siempre cierto si $|a| > |b|$, pero no estoy seguro de cómo me gustaría probar esto fácilmente.

Uno podría ser capaz de hacer una prueba por casos, mediante la revisión de cada caso $a > 1, 1 \geq a > 0, 0 > a \geq -1, -1 > a$ en cada caso $b \geq 1, 1 > b \geq 0, 0 \geq b > -1, -1 \geq b$, pero esto es tedioso y probablemente hay una forma más elegante (Posiblemente con el triángulo de la desigualdad de alguna manera?).

Agradezco cualquier respuesta.

EDITAR: He pedido otra pregunta directamente relacionada con este aquí. Una vez más, me gustaría tener las respuestas a esta pregunta así.

EDIT 2: He pedido una segunda pregunta se relaciona directamente con esta uno aquí. Este, tenemos la restricción adicional de que $a > 0$. Me gustaría tener las respuestas a esta pregunta así.

Answer 1

Contraejemplo: Tomar $$ a_n = - \frac{1}{n} $ y $$ b_n = \frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}. $$ Entonces para todas las $n$ uno tiene % \left\lvert \frac{b_n+b_n^2}{a_n+a_n^2 $\lvert b_n \rvert 1 $$ la desigualdad que $n$ suficientemente grande.

Answer 2

Tienes $|b|/|a|

Answer 3

Tomar $a=-0.6$ y $b=-0.5$. Entonces $|a|=0.6 > 0.5 = |b|$ $|a+a^2|=0.24

Mirando la gráfica de $y=|x+x^2|$ a continuación, vemos que está aumentando la $x\in [-1,-0.5]$ cuando $x