Desafío de suma infinita que involucra la función zeta

Question

Evaluar: $$\large\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta{(2)}-\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n^2}\right)^2$$

MI INTENTO: Reconociendo que $\zeta{(2)}-\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n^2}$ puede ser escrito como $ \displaystyle\psi_1(1+k)$ donde $\displaystyle\psi_1(z)$ es el trigamma función. Lo que queda por hacer es evaluar : $$\large\sum_{k=1}^{\infty}\psi_1^2(k+1)$$ Mathematica no se pudo evaluar en forma cerrada, pero la fuente asegura que existe.

Si te ha gustado este problema, compruebe hacia fuera Duro de la integral Definida, que involucran la función Zeta

Answer 1

Usando Maple estoy obteniendo

$$ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (\ Psi \ left (1, k +1 \ right) \ right) ^ {2} = 0.9003626252 $$

Answer 2

Igualmente.