Ideal En la intersección de polinomios del ideal y los enteros

Question

Dejemos que $I = AR + BR $ sea un ideal de $R= \mathbb{Z}[x]$ .

i) ¿Puede demostrar que $I \cap \mathbb{Z} = t\mathbb{Z} ; t\in \ \mathbb{Z}$ ?

ii) ¿Puede demostrar que si $t\ge 1$ entonces se cumple que $I=\tilde{A}R+\tilde{B}R$ donde $\tilde{A}= a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots$ ; $\tilde{B}=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots$ y $a_{0}\ge 1$ divide $t$ ?

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Leyendo el comentario de Arturo Magidin: "Consideremos la colección de todos los enteros positivos que son términos constantes de elementos de $I$ . Esta colección no está vacía, ya que contiene $t$ y, por lo tanto, contiene un elemento más pequeño $a_0$ . Sea $\widehat{a}(x)$ sea un polinomio en $I$ con término constante $a_0$ . Entonces $a_0\leq t$ y como $t\in I$ tomando combinaciones lineales integrales de $\widehat{a}(x)$ y $t$ podemos obtener un polinomio con término constante $\gcd(a_0,t)$ . Como esto será positivo y menor o igual a $a_0$ se deduce que debe ser igual a $a_0$ Por lo tanto $a_0|t$ . Ya que es positivo por construcción, $a_0\geq 1$ ."

Lo que ha hecho es que ha elegido $\tilde{A}$ con la menor constante positiva posible $a_{0}$ . Ahora, porque $AR+BR=AR+(B-tA)R$ se deduce que $I=\tilde{A}R+\tilde{B}R$ .

¿Es esta la forma en que él/tú querías decir? ¿O se deduce directamente?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Su argumento para (i) no tiene ningún sentido para mí; usted tiene que demostrar que existe un $t$ con la propiedad deseada, pero aún no sabe que tiene una. Así que no puede demostrar que $I\cap\mathbb{Z}=t\mathbb{Z}$ por doble inclusión, porque no tienes dos conjuntos para comparar; todo lo que tienes es $I\cap\mathbb{Z}$ .

Además, es extremadamente descuidado utilizar $x$ como elemento arbitrario de un ideal cuando se trabaja en un anillo que ya utiliza $x$ en una capacidad muy específica: estás trabajando en el anillo de polinomios en $x$ ¡! No utilice $x$ para cualquier cosa excepto el indeterminado.

Para (i): Sea $I$ sea un ideal arbitrario de $\mathbb{Z}[x]$ . Afirmo que $I\cap\mathbb{Z}$ es un ideal de $\mathbb{Z}$ .

De hecho, desde $I$ y $\mathbb{Z}$ son ambos subgrupos aditivos de $\mathbb{Z}[x]$ entonces $I\cap \mathbb{Z}[x]$ es un subgrupo aditivo de $\mathbb{Z}[x]$ que está contenida en $\mathbb{Z}$ por lo que es un subgrupo aditivo de $\mathbb{Z}$ . Y si $a\in I\cap \mathbb{Z}$ y $r\in \mathbb{Z}$ , elN $ra\in I$ (porque $I$ es un ideal de $\mathbb{Z}[x]$ ), y como $r,a\in\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}$ está cerrado bajo productos, $ra\in\mathbb{Z}$ . Así, $ra\in I\cap\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $I\cap\mathbb{Z}$ es un ideal de $\mathbb{Z}$ .

Dado que todos los ideales de $\mathbb{Z}$ son de la forma $t\mathbb{Z}$ para algunos $t\geq 0$ (i).

Estoy asumiendo que en (ii), $d$ debe ser $t$ Así que está considerando el caso en el que su ideal se cruza con $\mathbb{Z}$ de forma no trivial. Estás tratando de demostrar que también puedes generar el ideal con polinomios de la forma dada (de nuevo, muy mala forma para introducir $A$ y $B$ y nunca dicen cuáles eran).

Consideremos la colección de todos los enteros positivos que son términos constantes de elementos de $I$ . Esta colección no está vacía, ya que contiene $t$ y, por lo tanto, contiene un elemento más pequeño $a_0$ . Sea $\widehat{a}(x)$ sea un polinomio en $I$ con término constante $a_0$ . Entonces $a_0\leq t$ y como $t\in I$ tomando combinaciones lineales integrales de $\widehat{a}(x)$ y $t$ podemos obtener un polinomio con término constante $\gcd(a_0,t)$ . Como esto será positivo y menor o igual a $a_0$ se deduce que debe ser igual a $a_0$ Por lo tanto $a_0|t$ . Ya que es positivo por construcción, $a_0\geq 1$ .

Parece una sabia elección de $\widehat{a}(x)$ a mí. ¿Puedes llevarlo desde aquí?