Encuentra los factores de$(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3$

Question

Encontrar los factores de

PS

la respuesta es $$(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3$

Dejar $24abc$

Dado que$E = (a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3$ hace que$b+c = a $ es un factor, de manera similar,$E = 0, \therefore (b+c-a)$ y$(c+a-b)$ son factores, pero no pueden continuar :(

Answer 1

@user230452 pide un iluminado manera de hacer esto.

La expresión $$ E = E(a, b, c) = (a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3 $$ es simétrica en $a, b, c$, y homogénea del total grado $3$, por lo que debe ser una parte integral de la combinación de la primaria simétrica polinomios en $a, b, c$, de la forma $$ E = x \sigma_{1}^{3} + y \sigma_{1} \sigma_{2} + z \sigma_{3}, $$ para el adecuado enteros $x, y, z$. Aquí $\sigma_{1} = a + b + c$, $\sigma_{2} = ab + ac + bc$, $\sigma_{3} = a b c$ son de la escuela primaria simétrica polinomios en $a, b, c$.

En el fin de

• $a = b = c = 1$,
• $a = b = 1$, $c = 0$,
• $a = 1$, $b = c = 0$

para obtener $$ \begin{cases} 3 x + 9 y + z &= E(1, 1, 1) &=24\\ 2 x + 2 y &= E(1, 1, 0) &=0\\ x &= E(1, 0, 0) &=0\\ \end{casos} $$

Por lo tanto $x = y = 0$, $z = 24$, y la expresión se evalúa a $$E = 24 \sigma_{3} = 24 a b c.$$

Answer 2

Dejar $\displaystyle b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z\implies x+y+z=a+b+c$

Necesitamos $\displaystyle(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=\{x+(y+z)\}^3-x^3-y^3-z^3$

$\displaystyle=x^3+(y+z)^3+3x(y+z)\{x+(y+z)\}-x^3-y^3-z^3$

$\displaystyle=3yz(y+z)+3x(y+z)\{x+(y+z)\}$

$\displaystyle=3(y+z)\{yz+x(x+y+z)\}$

PS

Ahora$$\displaystyle\implies(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(y+z)(z+x)(x+y)$ etc.

¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 3

Esta técnica proviene de Un curso en matemáticas puras de Margaret M. Gow :

$E=(a+b+c)^{3}-(b+c-a)^{3}-(c+a-b)^{3}-(a+b-c)^{3}$

$c=0 \implies E=(a+b)^{3}-(b-a)^{3}-(a-b)^{3}-(a+b)^{3}=0$

$\therefore c$ es un factor de$E$.

Por simetría,$a, b$ también son factores de$E$.

Como$E$ es cúbico, deje$E=kabc$ donde$k$ es una constante.

Tomar $a=b=c=1$, $E=24=k$.

$\therefore E=24abc$

Answer 4

Expandiendo esta expresión obtenemos$$24abc$ $