¿Cuál es la forma de encontrar el grupo de simetría de un conjunto de puntos?

Question

Dado un conjunto de N puntos en un espacio dimensional D. ¿Cómo encontrarías el grupo de simetría de estos puntos? es decir, el grupo de simetrías euclidianas que mapean los puntos en sí mismos.

Para complicar las cosas, tal vez solo conozcas las coordenadas de los puntos con una precisión de $\epsilon$.

Por ejemplo, los puntos podrían ser esquinas de un cubo en 3D o esquinas de un hexágono en 2D.

Presumo que comenzarías intentando encontrar todas las posibles rotaciones y reflexiones. (¿Cómo harías eso sistemáticamente?) Y luego ver cómo se componen.

No necesitaría saber el nombre del grupo de simetría, tal vez solo su tamaño y una forma de distinguirlo de otro grupo de simetría del mismo tamaño.

Answer 1

De una manera orientada a C.S. (asumo que el conjunto de puntos no está contenido en un hiperplano). No conozco los números específicos de tu problema pero en mi mente parece funcionar para datos razonables.

• calcula el envolvente convexo de tu conjunto de puntos y denota $v_1,\dots, v_M$ como el conjunto de vértices del envolvente convexo,

• calcula el isobaricentro $0$ de los puntos e identifica los puntos a un espacio vectorial usando $0$. Cada punto de tu conjunto se identifica con un vector $v_i$.

• Haz la lista de longitudes $\|v_i\|$ y ordénala. A partir de este momento asumimos que $\|v_1\|\leq \dots \leq \|v_M\|$.

• Elige arbitrariamente $D$ puntos $v_1,\dots, v_D$ entre los $M$ puntos de manera que abarquen el espacio vectorial $D$-dimensional.

• Una isometría que fije globalmente tu conjunto de puntos debe enviar un vértice a un vértice de la misma longitud. Por lo tanto, prueba todas las posibilidades (fuerza bruta) para las imágenes de $v_1,\dots, v_D$ y prueba si te da una transformación lineal invertible y si fijan globalmente el conjunto de puntos (quizás prueba primero con el conjunto de vértices).

Lo que obtienes al final son un montón de matrices $d$ por $d$ invertibles que fijan globalmente tu conjunto. Es fácilmente adaptable con la precisión $\epsilon$.