¿Cómo solucionarlo?

Question

$|x-5|=|2x+6|-1$.

La respuesta es $0$ o $-12$, pero ¿cómo se resuelve lo resolviendo algebraicamente en lugar de dibujar un gráfico?

$| x-5 | = | 2 x +6 |-1\ (| x-5 |) ^ 2 = (| 2 x +6 | -1) ^ 2\... \ 9 x ^ 4 +204 x ^ 3 +1188 x ^ 2 +720 x = 0? $

Answer 1

Considerar diferentes casos:

Caso 1: $x>5$ En este caso, tanto la $x-5$ $2x+6$ son positivos, y puede resolver los valores absolutos de manera positiva. por lo tanto $$ x-5=2x+6-1 \Rightarrow x = -10, $$ que no es compatible con la suposición de que $x>5$, por lo tanto no hay solución hasta el momento.

Caso 2: $-3<x\leq5$ En este caso, $x-5$ es negativo, mientras que $2x+6$ es todavía positiva, así que usted consigue $$ -(x-5)=2x+6-1\Rightarrow x=0; $$ Desde $0\in[-3,5]$, esta es nuestra primera solución.

Caso 3: $x\leq-3$ En este último caso, los argumentos de los dos valores absolutos son negativos y la ecuación se simplifica a $$ -(x-5) = -(2x+6)-1 \Rightarrow x = -12, $$ de acuerdo con su solución mediante la inspección de la gráfica.

Answer 2

Esa no es la forma, porque estás creando más soluciones (raíces nuevas) cuando usted pone cuadrada en ambos lados. Acaba de separar las opciones:

$$x-5=2x+6-1\\ 5-x=2x+6-1\\ x-5=-2x-6-1\\ 5-x=-2x-6-1$$

Resolver todos los de ellos, y usted tiene las soluciones

Tener en cuenta que una vez que usted consiga sus soluciones, usted tiene que comprobar si son posibles, por ejemplo, en el primero de ellos, que han supuesto que el bot cosas dentro de || son positivos, así que si tienes algo por lo que x-5 o 2x+6 es negativo, entonces usted tiene que tirar a la basura

Answer 3

Buscar por donde las expresiones dentro de los valores absolutos cambio de signo: $x-5$ cambia de signo en $x=5$, e $2x+6$ cambia de signo en $x=-3$. Por lo tanto, cuando $x<-3$, $x-5$ y $2x+6$ son negativos, y la ecuación es $$-(x-5)=-(2x+6)-1\;.$$

Cuando $-3\le x<5$, $x-5$ es negativo y $2x+3$ es no negativo, por lo que la ecuación es

$$-(x-5)=2x+6-1\;.$$

Y al $x\ge 5$, ambas expresiones son no negativos, y la ecuación es

$$x-5=2x+6-1\;.$$

Por lo tanto, usted necesita para resolver

$$\left\{\begin{align*} &-x+5=-2x-7&&\text{when }x<-3\\ &-x+5=2x+5&&\text{when }-3\le x<5\\ &x-5=2x+5&&\text{when }x\ge 5\;. \end{align*}\right.\la etiqueta{1}$$

$(1)$ reduce a

$$\left\{\begin{align*} &x=-12&&\text{and }x<-3\\ &x=0&&\text{and }-3\le x<5\\ &x=-10&&\text{and }x\ge 5\;. \end{align*}\right.\la etiqueta{2}$$

Las dos primeras soluciones en $(2)$ caen dentro de los intervalos en los que son válidos; la tercera no y por lo tanto no es una solución.

Answer 4

Tienes $|x-5|=|2x+6|-1$.

1) si $x\geq5$, $|x-5|=x-5$ y $|2x+6|=2x+6$, por lo que tiene

$x-5=2x+6-1$

$x-5=2x+5$

$x=-10$ (pero no es válido)

2) si $-3/2\leq x

$-(x-5)=2x+6-1$

$-x+5=2x+5$

$-x=2x$

$x=0$

3) si $x

$-(x-5)=-(2x+6)-1$

$-x+5=-2x-6-1$

$-x+5=-2x-7$

$-x+5=-2x-7$

$x=-12$

Por lo tanto, es la la respuesta de $x$ $x=0$ o $x=-12$

Answer 5

Creo que el dibujo enfoque sugiere una solución, que es la partición del dominio.

Considere la función $f(x) = |x-5|-|2x+6|+1$. Mira el valor absoluto de la parte y ver que se puede dividir el dominio en $I_1= (-\infty, -3]$, $I_2 = (-3,5]$ y $I_3 = (5,\infty)$.

En $I_1$, $f(x) = x+12$, en $I_2$, $f(x) = -3x$, y en $I_3$, $f(x) = -(x+10)$.

Ahora a buscar soluciones a $f(x) = 0$ en cada uno de estos intervalos.

Por ejemplo, en $I_3$, solución de $-(x+10) = 0$ rendimientos $x=-10$, pero $-10 \notin I_3$, por lo tanto $f(x) \neq 0$$x \in I_3$.