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Demostrar que F11[x]/(x2+1) tiene 121 elementos

<blockquote> <p>¿Cómo puedo mostrar que F11[x]/(x2+1) tiene 121 elementos?</p> </blockquote> <p>Sin embargo, es intuitivamente claro porque hay 121 polinomios de grado uno, pero ¿cómo demostrarlo rigurosamente?</p>

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Xenph Yan Puntos 20883

Tu intuición es muy buena. Podemos demostrarlo rigurosamente apelando a que el algoritmo de la división: para todos los fF[x], no son exclusivos de q,rF[x] tal que deg(r)<deg(x2+1)=2 y f=(x2+1)q+r. Por lo tanto, cualquier fF[x] tiene un único r=a0+a1xF[x] tal que f\equiv r\pmod{ x^2+1}. Por lo tanto, hay en la mayoría de los 121 de clases de equivalencia módulo x^2+1, es decir, hay en la mayoría de los 121 elementos de F[x]/(x^2+1). Pero la singularidad también le dice que a_0+a_1x\equiv b_0+b_1x\pmod{x^2+1}\iff a_0=b_0\text{ and }a_1=b_1 así que todas las 121 de clases de equivalencia de grado < 2 polinomios son distintos. Por lo tanto, no son exactamente 121 de clases de equivalencia, es decir, hay 121 elementos de F[x]/(x^2+1).

Esto se generaliza a cualquier grado n polinomio, independientemente de si es irreductible; sin embargo, si g\in F[x] no es irreducible; el anillo de F[x]/(g) no va a ser un campo.

5voto

Goethe Puntos 18

Demostrar que, en general, dado un campo k y un polinomio p grado n k[x]/(p) n- dimensional k-espacio, y así, de hecho isomorfo a k^n como espacios vectoriales. Así, por su ejemplo, F[x]/(x^2+1)\cong F^2 y desde F tiene once elementos F^2121.

Tal vez, debería dar una pista sobre cómo hacer esto. Usted sabe que \{1,x,x^2,\cdots\} genera F[x] \{1+(x^2+1),x+(x^2+1),x^2+(x^2+1),\cdots\} genera F[x]/(x^2+1). Demostrar que, de hecho, cada una de las x^n+(x^2+1) n\geqslant 2 puede ser obtenida a partir de a 1+(x^2+1) o x+(x^2+1) y a la conclusión de que el conjunto de \{1+(x^2+1),x+(x^2+1)\} es un grupo electrógeno F[x]/(x^2+1). Nota luego de que este conjunto es trivialmente linealmente independientes (tal vez un grado argumento señalando lo que significa que si eran iguales en términos de x^2+1) y, a continuación, concluir.

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