Prueba que $x^2+4xy+y^2=1$ tiene infinitamente muchas soluciones del número entero

Question

La pregunta sería, naturalmente, ser muy sencillo si hubo un $2xy$ en lugar de un $4xy$. Entonces es simplemente una cuestión de hacer:

$$ x^2+2xy+y^2=1\\ (x+y)^2=1\\ \sqrt{(x+y)^2}=\sqrt{1}\\ |x+y|=1 $$

Claramente, existen infinitos pares de números enteros que se diferencian por una, así que hay un número infinito de entero soluciones a $x^2+2xy+y^2=1$. Por desgracia, el mismo principio no se aplica a $x^2+4xy+y^2=1$ donde si puedo intento de construir una similar a prueba todo lo que puedo hacer es:

$$ x^2+4xy+y^2=1\\ (x+y)^2+2xy=1\\ 2xy=1-(x+y)^2\\ 2xy=(1+x+y)(1-x-y) $$

Y, a partir de ahí, no tengo idea de cómo proceder para completar la prueba de que hay un número infinito de entero de soluciones. Me pregunto si me estoy acercando a la pregunta enteramente en el camino equivocado, o si simplemente estoy perdiendo algo. Un empujón en la dirección correcta sería muy apreciada!

Answer 1

Sugerencia:

¿Han aprendido sobre la ecuación de Pell?

Trate de agregar un múltiplo de $y^2$ (en ambos lados) para completar el cuadrado de la izquierda.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Considera $\,f(x) = x^2 + 4y\ x + y^2\!-\!1\,$ como una ecuación cuadrática en $\,x,$ donde $y$ es constante. Por Vieta sus raíces $\,x,x'$ satisfacer $\ x+x' = -4y.\,$ si $\,x\,$ es una raíz, entonces también lo es $\,x' = -4y-x.$

Esto produce un reflejo de simetría $\ \, (x,y) \mapsto (-4y-x,\,y)\,$ en el espacio de la solución. Componer

esto con el reflejo de la simetría $\,(x,y)\mapsto (y,x)\,$ se obtiene el mapa de $\,(x,y)\mapsto (-4x-y,x)$

que, iterada de partida en la solución de $(1,0),\,$ rendimientos infinitamente muchas soluciones

$$ (1,0),\ (-4,1),\ (15,-4),\ (-56,15),\ (209,-56),\ (-780,209),\ (2911,-78),\ \ldots$$

Secuencia $\, 0,1,4,15,56,209,\ldots$ satsifies la recursividad $\,f_{n+2} = 4 f_{n+1} - f_{n}\,$ como es fácil de derivados.

Esto puede ser transformado a la ecuación de Pell $\ X^2\! - 3 Y^2 = 1\ $ y estudiado el uso estándar de los resultados en las ecuaciones de Pell. Ver también los comentarios de esta secuencia en OEIS secuencia A001353.

Answer 3

Después de Aryabhata, escriba como $x^2+4xy+4y^2-3y^2=1=(x+2y)^2-3y^2$ nos permite definir $z=x+2y$, por lo que éste se convierte en $z^2-3y^2=1$. $z=1,y=0$ Es evidente que una solución. Ahora si tenemos una solución $(z,y)$ observamos que $(z',y')=(2z+3y,z+2y)$ también es una solución, porque $$\begin {align}z'^2-3y'^2&=(2z+3y)^2-3(z+2y)^2\\&=4z^2+12zy+9y^2-3z^2-12yz-12y^2\\&=z^2-3y^2\\&=1 \end{align}$ $ dado cualquier solución podemos encontrar una más grande, así que hay infinitamente muchos.

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Answer 4

Es fácil... Mantener 'Y' constante y variar 'X'. Para uno de los valores de 'Y' obtendrá dos valores de 'X', vaya en la variable 'Y' obtendrá diferentes valores de 'X' de cada 'Y'.