¿Por qué es$n\choose k$ módulo periódico$p$ con el período$p^e$?

Question

Dado un entero$k$, define la secuencia$a_n={n\choose k}$. Reclamación:$a_n$ es un módulo periódico a primo$p$ y el período es la menor potencia$p^e$ de$p$ tal que$k<p^e$.

En otras palabras, $a_{n+p^e}\equiv a_{n} (\text{mod } p)$. Pero el período$p^e$ es más pequeño de lo que hubiera esperado (es obvio que un período que cumpla con$k! < p^e$ funcionaría). Entonces, ¿cómo puedo probar que funciona?

Answer 1

Es relativamente fácil demostrar que si la base de $p$ expansiones de $n$$k$$n=\sum_{i\ge0} n_ip^i$$k=\sum_{i=0}^{e-1} k_ip^i$, con $0\le n_i,k_i<p$ todos los $i$, luego $$ {n\elegir k}\equiv\prod_{i\ge0}{n_i\elegir k_i} \pmod p . $$ Aquí interpretamos ${a\choose b}$ es igual a cero, siempre que $0<a<b$. De su observación se deduce del hecho de que la adición de $p^e$ $n$sólo afecta a la base de $p$-dígitos $n_i, i\ge e$. Esos factores son todos iguales a uno en la de arriba de la factorización, porque $k_i=0$$i\ge e$.

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Edit: Bosquejar una prueba de Lucas' la correspondencia. Esto se basa en el hecho de que $(a+b)^p= a^p+b^p$ en cualquier anillo conmutativo de la característica $p$. Calcular el polinomio de anillo de $F_p[x]$: $$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^n{n\choose k}x^k= (1+x)^n&=(1+x)^{\sum_i n_ip^i}\\&=\prod_i\left((1+x)^{p^i}\right)^{n_i}\\ &=\prod_i(1+x^{p^i})^{n_i}\\ &=\prod_i\left(\sum_{k_i}{n_i\choose k_i}x^{k_ip^i}\right).\end{aligned} $$ Busque los términos de grado $k$ en ambos lados para obtener la reivindica la congruencia.