Pregunta de seguimiento, ¿$\|u\|_{L^\infty(0, 1)} \le \epsilon\|u'\|_{L^p(0, 1)} + C\|u\|_{L^1(0, 1)}$ todavía se mantiene cuando$p = 1$?

Question

Este es un seguimiento de esta pregunta .

Dejar $p > 1$. Para todos$\epsilon > 0$, ¿existe$C = C(\epsilon, p)$ tal que$$\|u\|_{L^\infty(0, 1)} \le \epsilon\|u'\|_{L^p(0, 1)} + C\|u\|_{L^1(0, 1)}\tag*{$ (1)$}$$for all $ u \ en W ^ {1, p} (0, 1 PS

¿$(1)$ Todavía se mantiene cuando$p = 1$?

Answer 1

Considerar $u_n = \max \{ 1-nx, 0\}$. Entonces y $\|u_n\|_\infty = 1$. Asi si

PS

se mantiene para algunos$\|u'_n\|_{L^1} =1$, toma$\|u_n\|_{L^1} \to 0$ y toma$$\|u\|_{L^\infty} \le \epsilon\|u'\|_{L^1} + C\|u\|_{L^1}$ da$C$, lo cual no tiene sentido.

Answer 2

Otro contraejemplo:$u_n(x)=x^n$.

Como en la respuesta de @JohnMa,$\|u_n\|_{L^\infty}=\|u_n'\|_{L^1}=1$ y$\|u_n\|_{L^1}=\frac{1}{n+1}\to0$.