Determinar si$\mathbb{Z}[a]$ es una subring discreta de$\mathbb{C}$.

Question

Deje $a \in \mathbb{C}$ y considerar el anillo de $\mathbb{Z}[a]$. Hay algo de buen criterio que me va a decir si $\mathbb{Z}[a]$ es discreta en el sentido de que hay algunos $\delta >0$ tal de que, siempre que $x \in \mathbb{Z}[a] \setminus \{0\}$, uno ha $|x| \geq \delta$? De ello se sigue, entonces, que no existe la menor distancia posible entre dos puntos cualesquiera.

He sido capaz de mostrar algunos bastante fácil las cosas, tales como:

Hecho 1: Un sub-anillo $R \subset \mathbb{C}$ es discreto si y sólo si $\{ |x| : x \in R\} \subset [0,\infty)$ es isomorfo a $\mathbb{N}$.

Hecho 2: La única discretos (unital) sub-anillo de $\mathbb{R}$$\mathbb{Z}$.

Hecho 2 hace que el caso de $a \in \mathbb{R}$ muy fácil: obtenemos $\mathbb{Z}[a]$ discreto si y sólo si $a \in \mathbb{Z}$.

En el caso de que $a \in \mathbb{C}$ es imaginario puro es también bastante fácil. Usted necesita $\mathbb{Z}[a^2] \subset \mathbb{Z}[a]$ a de ser discretos, por lo que necesita $a^2$ un entero, es decir, $a = \pm \sqrt{n}i$ para algún entero positivo $n$. No es difícil mostrar que, para $a$, el anillo de $\mathbb{Z}[a]$ es también discreta.

El siguiente caso que probé fue el caso donde $a$ es una raíz de la unidad. Si $a \neq 1$ es un tercio de la raíz de la unidad, las cosas funcionan bastante bien: resulta que $\mathbb{Z}[a]$ es una red hexagonal.

Sin embargo, si $a \neq 1$ es un quinto de la raíz de la unidad, se hace difícil calcular con las manos, y no estoy demasiado seguro de lo que sucede.

Answer 1

Si $\mathbb Z[a]$ es un discret, a continuación, $\mathbb Z$- módulo de $\mathbb Z[a]$ finitely generado, por lo tanto $a$ debe ser un entero algebraico número. Si $n$ es un grado de un polinomio mínimo de a$a$, $\mathbb Z$- módulo de $\mathbb Z[a]$ generado por $1,a,\ldots,a^{n-1}$ y generan un subgrupo de discret $\mathbb C^+$ ($\mathbb C$ por la adición). Por el contrario, vamos a $a$ ser un entero algebraico de grado $n$, que $1,a,\ldots,a^{n-1}$ generar un discret subgrupo de $\mathbb C^+$. A continuación, $\mathbb Z[a]$ como subfgroup de $\mathbb C^+$ es generado por $1,a,\ldots,a^{n-1}$, por lo que, por supuesto, $\mathbb Z[a]$ es un discret subgrupo en $\mathbb C^+$.

Queda por entender en qué casos $1,a,\ldots,a^{n-1}$ generar un discret subgrupo de un $\mathbb C^+$. Además, se debe considerar, que el $1,a,\ldots,a^{n-1}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$, y cualquier discret subgrupo en $\mathbb C^+$ tiene rango no mayor de 2, por lo $n\leq 2$. Si $n=1$,$a\in\mathbb Z$. Deje $n=2$. Si $a\not\in\mathbb R$, $1,a$ generar más de $\mathbb Z$ discret subgrupo. Si $a\in\mathbb R$, $1,a$ generar discret subgrupo de un $\mathbb R^+$ fib $\{1,a\}\subset t\mathbb Z$ algunos $0\neq t\in\mathbb R$. Por lo tanto $1=ty$, $a=tx$ para algunos $x,y\in\mathbb Z$. A continuación, $a=\frac{a}{1}=\frac{tx}{ty}=\frac{x}{y}\in\mathbb Q$ - contradicción, ya que $a$ tiene un grado más de 2 $\mathbb Q$.

De tal manera, obtenemos la respuesta: $\mathbb Z[a]$ es un discret subgrupo en $\mathbb C^+$ fib $a\in\mathbb Z$ o $a$ es un nonreal cuadrática algebraicas entero (es decir, $a$ es una raíz de un polinomio $x^2+ux+v$ donde $u,v\in\mathbb Z$ y el discriminante es negativo).