Encontrar el inverso multiplicativo en un campo.

Question

Deje $L/K$ ser una extensión de campo. Deje $a\in L$$K[a]=\{p(a)\;|\; p\in K[x]\}$; a continuación, $K[a]$ es claramente una parte integral de dominio. Quiero mostrar que cuando se $a$ es algebraico sobre$K$, $K[a]$ es un campo.

Así que quiero saber qué es el inverso multiplicativo de un elemento distinto de cero $p(a)\not =0$ algunos $p\in K[X]$. Desde $a$ es algebraica tiene un mínimo de polinomio $m\in K[X]$ $m$ $p$ son coprime de modo que existe $\alpha$ $\beta$ $K[X]$ tal que $\alpha m+\beta p=1$; pasando de evaluación en $a$ obtenemos $\beta(a).p(a)=1$ por lo tanto $p(a)$ es invertible con inverse $\beta(a)$. Mi única duda es acerca de la $m$ $p$ coprime. Creo que la justificación es que las $p$ es irreducible en a $K[X]$ y $p$ no puede ser un múltiplo de $m$ ¿es correcto?

Answer 1

Para poner los comentarios en una respuesta completa.

dos formas presentadas aquí para contestar por qué la $K[a]$ es un campo para un determinado elemento algebraico $a$.

El camino directo : Desde $K[a]$ es claramente una parte integral de dominio, es suficiente para demostrar que cualquier elemento distinto de cero $p(a)\not = 0$ tiene un inverso multiplicativo. Ahora ya $a$ es un elemento algebraico, entonces tiene una mínima polinomio $m$. Ahora está claro que $m$ $p$ son coprime desde $m$ es irreductible e $p$ no puede ser un múltiplo de $m$ porque $p(a)\not = 0$. De ello se desprende que no existe $\alpha $ $\beta$ $K[X]$ tal que $\alpha .m+\beta . p=1$. Ahora evaluar esta identidad en $a$ conseguir $\beta(a) . p(a)=1$ por lo tanto $p(a)$ es invertible con inverse $\beta(a)$.

La forma indirecta : considerar la evaluación map $$ev_a:K[X]\rightarrow L;\; p\mapsto p(a)$$ el mapa de $ev_a$ es claramente un anillo homomorphism con la imagen de $K[a]$ núcleo y el director ideal $(m)$ generado por el polinomio mínimo $m$ que es un ideal maximal porque $m$ es irreductible, por lo tanto, tenemos un campo de isomorfismo $k[x]/(m(x)) \cong k[a]$