Anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt{5})|\mathbb{Q}$ y grupo de unidades

Question

Estoy teniendo algunos problemas para encontrar el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt{5})|\mathbb{Q}$ . ¿Cómo puedo encontrarlo?

Además, me gustaría demostrar que $\alpha:=\frac{1+\sqrt{-3}+\sqrt{5}+\sqrt{-15}}{4}$ genera un subgrupo de índice finito del grupo de unidades de $\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt{5})|\mathbb{Q}$ pero no sé cómo aplicar el teorema de Dirichlet para demostrarlo (es el único punto al que he llegado hasta ahora).

Ya sé cómo calcular su discriminante y por tanto sé qué primos ramifican, el problema es que realmente no sé cómo encontrar su anillo de enteros, aunque he sentido la tentación de escribir $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt{5})}=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $L/K$ es una extensión cuadrática, entonces el discriminante de $L$ es divisible por el cuadrado del discriminante de $K$ (Informe de Hilbert). Desde $L = {\mathbb Q}(\sqrt{-3},\sqrt{5})$ es una extensión cuadrática de ${\mathbb Q}(\sqrt{-15})$ , sabes que $15^2$ divide el discriminante de $L$ . El discriminante de la orden que has escrito es $15^2$ así que ya está.

Dado que el campo $L$ tiene rango de unidad $1$ cualquier unidad que no sea una raíz de la unidad genera un subgrupo del grupo unidad con índice finito. Su unidad es, hasta una raíz de la unidad, sólo la unidad fundamental de ${\mathbb Q}(\sqrt{5})$ y se demuestra fácilmente que es la unidad fundamental de $L$ utilizando técnicas que se explican en los artículos, por ejemplo, de Wada sobre la fórmula del número de clase de Kuroda.