Cuando estoy leyendo un libro de texto de matemáticas, que tienden a omitir la mayoría de los ejercicios. Generalmente no me gustan los ejercicios, en particular artificiales. En lugar de eso, me concentro en la comprensión de las pruebas de los teoremas, proposiciones, lemas, etc..
A veces trato de demostrar un teorema antes de la lectura de la prueba. A veces trato de encontrar una forma diferente de la prueba. A veces trato de encontrar un ejemplo o un contra-ejemplo. A veces trato de generalizar un teorema. A veces vengo con una pregunta y trato de responder a ella.
Creo que esas son buenas "ejercicios" para mí.
EDITAR Lo que yo creo que es un muy buen "ejercicio" es la siguiente:
(1) Tratar de demostrar un teorema antes de la lectura de la prueba.
(2) Si usted no tiene ninguna idea para probarlo, echa un vistazo un poco en la prueba.
(3) a tratar de demostrarlo.
(4) Cuando usted está atascado, echa un vistazo un poco en la prueba.
(5) Repita (3) y (4) hasta que usted viene para arriba con una prueba.
EDITAR Otro método que recomiendo en lugar de hacer "los deberes" tipo de ejercicios: Intente escribir un "libro de texto" sobre el tema. Usted no tiene que escribir una real. He tratado de hacer esto en la teoría de Galois. En realidad he publicado "apuntes de clase" en la teoría de Galois en internet, matemáticas foro. Creo que mis conocimientos y habilidades en el tema aumentado considerablemente.
Por ejemplo, he encontrado esto , mientras yo estaba escribiendo "apuntes de clase" en la teoría de Galois. Yo también podría demostrar que cualquier profinite grupo es un grupo de Galois. Este hecho fue mencionado en Neukirch de la teoría algebraica de números. Descubrí más tarde que Bourbaki tenido este problema como un ejercicio. No entiendo su pista, aunque. Más tarde me he encontrado a alguien escribió un artículo sobre este problema. Hice otro pequeño "descubrimientos" durante el curso. Yo tenía la intención de escribir una "conferencia de nota" en la Grothendieck de la teoría de Galois. Este es un atractivo plan, pero aún no ha sido iniciado.
EDITAR Si usted quiere tener los ejercicios, ¿por qué no producir usted mismo? Cuando el aprendizaje de un tema, que, naturalmente, vienen con preguntas. Algunos de estos pueden ser buenos ejercicios. Al menos tiene la motivación no se da por los demás. No es la tarea. Por ejemplo, se me ocurrió la siguiente pregunta, cuando yo era el aprendizaje de la geometría algebraica. Me pareció que este era un buen problema.
Deje que $k$ ser un campo. Deje que $A$ ser un finitely generado álgebra conmutativa más de $k$. Deje que $\mathbb{P}^n = Proj(k[X_0, ... X_n])$. Determinar $Hom_k(Spec(A), \mathbb{P}^n)$.
Como escribí, tratando de encontrar ejemplos o contra-ejemplos pueden ser buenos ejercicios. Por ejemplo, este es un buen ejercicio en la teoría de álgebras de división.
EDITAR Permítanme mostrarles otro ejemplo de auto-ejercicios. Me encontré con el siguiente problema cuando yo estaba escribiendo una "conferencia" nota sobre la teoría de Galois.
Deje que $K$ ser un campo. Deje de $K_{sep}$ ser un separables algebraica de cierre de $K$. Deje de $G$ ser el grupo de Galois de $K_{sep}/K$.
Deje que $A$ ser finito dimensionales álgebra de más de $K$. Si $a$ es isomorfo a un producto de los campos de cada uno de los cuales es separable de más de $K$, $A$ es llamado un número finito de etale álgebra. Deje de $FinEt(K)$ ser la categoría de finito etale álgebra de más de $K$.
Deje que $X$ ser un conjunto finito. Supongamos que $G$ actúa en $X$ de forma continua. $X$ es llamado un número finito de $G$. Deje de $FinSets(G)$ ser la categoría de finito de $G$-conjuntos.
Entonces $FinEt(K)$ es anti-equivalente a $FinSets(G)$.
Este es un cero-dimensional versión de la principal teorema de Grothendieck de la teoría de Galois. Usted puede encontrar la prueba en otros lugares, pero te recomiendo que pruebes a ti mismo. No es difícil y es un buen ejercicio de la teoría de Galois. Sugerencia: Reducir para el caso de que $A$ es finito separables de extensión de $K$ y X es un número finito transitiva de $G$.
EDITAR Si usted piensa que esto es demasiado amplio como una pregunta, usted es libre de añadir las condiciones adecuadas. Este es un soft que se trate.
