¿Cuál es la derivada de $(u^v)$ ?

Question

La derivada de una suma es la suma de las derivadas, es decir
$$d(u+v)=du+dv$$
El derivado de un producto es un poco más complicado:
$$d(u\cdot v)= u\ dv + v\ du$$
¿Pero qué pasa con la derivada de una potencia? No estoy hablando de $x^n$ o $a^x$ o incluso $x^x$ pero $u^v$ - una función arbitraria de $x$ elevada a la potencia de otra función arbitraria de $x$ .

Answer 1

Comenzamos con $$y=u^v$$ donde $y$ , $u$ y $v$ son todas funciones de $x$ .
Tomamos el logaritmo natural $(\ln)$ de ambas partes: $$\ln(y)=\ln(u^v)$$ Y deja caer $v$ de $\ln$ utilizando la propiedad pertinente de los logaritmos: $$\ln(y)=v\ \ln(u)$$ Esto nos permite utilizar la regla del producto establecida anteriormente al diferenciar: $$d\ln(y)=v\ d\ln(u) + \ln(u)\ dv$$ Que, por la definición de cálculo del logaritmo natural, se simplifica a: $$\frac{dy}{y}=v\ \frac{du}{u} + \ln(u)\ dv$$ A continuación, multiplicamos ambos lados por $y$ para aislar $dy$ y reemplazar $y$ con su definición $u^v$ para conseguirlo: $$dy=u^v\ \left(\frac{v\ du}{u} + \ln(u)\ dv\right)$$ Que es la respuesta que buscábamos. ¡Pero! Vamos a distribuir que $u^v$ y hacer algunas cancelaciones: $$dy=v\ u^{v-1}\ du + \ln(u)\ u^v\ dv$$ Para el estudiante de cálculo, esto le resulta familiar. El primer sumando $(v\ u^{v-1}\ du)$ es la regla de la potencia $(d(u^n)=n\cdot u^{n-1}\ du)$ , mientras que el segundo $(\ln(u)\ u^v\ dv)$ es la regla general exponencial $(dv=\ln(a)\ a^v\ dv)$ .
Esto tiene sentido; la derivación de esta regla utilizó la regla del producto, que define la derivada de un producto como la suma de dos productos distintos, uno que diferencia una función y deja la otra sola.
Aquí, eso ha subido de nivel, por así decirlo, con cada sumando de nuestro resultado tratando la base o la potencia como constante. De hecho, al establecer $u$ rendimientos constantes $du \; \; 0$ haciendo que el primer addend $0$ a su vez, y lo mismo para $v$ y el segundo sumando, haciendo que tanto la regla de la potencia como la regla del exponente generalizado sean casos especiales de esta "regla de la potencia/exponente generalizada".

Answer 2

Un truco de diferenciación no muy conocido consiste en considerar todas las variables a su vez y suponer que las demás son constantes, diferenciar y sumar.

Por lo tanto, $u^v$ es primero una potencia de $u$ , entonces un exponencial con exponente $v$ y

$$\left(u^v\right)'=vu^{v-1}u'+\log u\,u^vv'.$$

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De hecho, se trata de una aplicación de

$$\left(u^v\right)'=\frac{\partial u^v}{\partial u}u'+\frac{\partial u^v}{\partial v}v'.$$

Answer 3

Dejemos que $u=f(x)$ , $v=g(x)$ y $y=f(x)^{g(x)}$ . A continuación, utilizando las reglas de la cadena y del producto, $$\begin{align}\ln y=g(x)\ln f(x)&\implies\frac1y\cdot\frac{dy}{dx}=g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)}{f(x)}\cdot f'(x)\\&\implies\frac{dy}{dx}=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)}{f(x)}\cdot f'(x)\right)\end{align}$$ Por lo tanto, $$d(u^v)=u^v\left(v'\ln u'+\frac{vu'}u\right)$$

Answer 4

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{d(u^v)}&=d\left(e^{v\cdot \ln u}\right)\\ &=e^{v\cdot \ln u}\cdot d(v\cdot \ln u)\\ &=u^v\left(\ln u\ dv + v\ d\left(\ln u\right)\right)\\ &\,\,\color{blue}{=u^v\left(\ln u\ dv+\frac{v}{u}\ du\right)} \end{align*}