Mostrar que la sup-norma no se deriva de un producto interno

Question

Estoy tratando de mostrar que la norma $$\lVert{\cdot} \rVert {\infty}=\sup{t \in R}|x(t)|$ $ no viene de un producto interno (la norma se define en todas las funciones reales valoradas acotadas y continuadas).

He tratado de mostrar que el producto interno no lleva a cabo mediante el uso de las condiciones de simetría, linealidad y degenerancy no conjugadas. Pero no estoy seguro de cómo hacerlo para el % de la norma $\lVert{\cdot} \rVert _{\infty}$

Answer 1

Si la norma proviene de un producto escalar, se mantenga la ley del paralelogramo. Pero es fácil encontrar dos funciones $f$ y $g$ tal que % $ $$2||f||\infty^2 + 2||g||\infty^2 \neq ||f+g||\infty^2 + ||f-g||\infty^2.$

Answer 2

Para simplificar mi respuesta, voy a ignorar el "continuo" requisito y asumir que hay una adecuada interior producto de esa norma.

Deje $b$ ser un número real $$f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,}&{x = 0} \\ {0,}&{x \ne 0} \end{array}} \right.$$ y $$g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,}&{x = 2} \\ {0,}&{x \ne 2} \end{array}} \right.$$

Entonces tendríamos $${\left\| {f + bg} \right\|^2} = {\left\| f \right\|^2} + {b^2}{\left\| g \right\|^2} + 2b\left\langle {f,g} \right\rangle $$

que varía cuadráticamente para la variación de $b$. Sin embargo, en nuestro caso, $\left\| {f + bg} \right\|$ es 1 para $\left| b \right| \leqslant 1$ ($f$ domina) y es $\left| b \right|$ $\left| b \right| > 1$ ($bg$ domina). Este es el tipo equivocado de variación, por lo que el interior del producto no debe existir.

Usted puede hacer fácilmente funciones continuas $f$ $g$ que se comportan de manera similar.