Milne ' s ejemplo de teoría de Galois

Question

El siguiente ejemplo es tomado de Milne Teoría de Galois notas, p.42 (http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf)

Que el estudio de la extensión de $\mathbb{Q}[\zeta]/\mathbb{Q}$ donde $\zeta=e^{2\pi i/7}.$

Nos encontramos con que $\mathbb{Q}[\zeta]$ es la división de campo para el polinomio mínimo $x^7-1,$ y que se trata de un grado 6 Galois de la extensión de más de $Q.$

Dejamos $\sigma$ a ser el elemento de $\text{Gal}(\mathbb{Q}[\zeta]/\mathbb{Q}) = (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^{\times}$ tal que $\sigma \zeta= \zeta^3.$ tenga en cuenta que $\sigma$ es un generador de $\text{Gal}(\mathbb{Q}[\zeta]/\mathbb{Q}).$

Podemos ahora preguntarnos: ¿cuál es el subcampo $S$ $\mathbb{Q}[\zeta]$ que corresponde al orden en el subgrupo 2 $<\sigma^3>.$

Tomamos nota de que $\sigma^3 \zeta=\zeta^6= \overline{\zeta}.$ Así, en particular, $\zeta+ \overline{\zeta}$ es fijo por $\sigma^3$ $\mathbb{Q}[\zeta+\overline{\zeta}] \subset S.$

Milne afirma que también tenemos $S \subset \mathbb{Q}[\zeta+\overline{\zeta}].$, Mientras que esto parece razonable, es que hay una forma sistemática para ver esto?

Answer 1

Sugerencia: $2=[\mathbb{Q}[\zeta] : S]=\left[\mathbb{Q}[\zeta]:\mathbb{Q}[\zeta+\overline{\zeta}]\right]\left[\mathbb{Q}[\zeta+\overline{\zeta}]:S\right]$