esto es una tarea pero realmente me esforcé antes de rendirme, y creo que o estoy muy cerca del final o estoy lo más lejos posible.. Ese es el texto:
Dejemos que $X_1, X_2, ..., X_n$ sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Y N es una variable aleatoria de valor entero no negativo (indipendiente de cualquier $X_i$ ).
Dejemos que $Z = \Sigma_{i=1}^NX_i$ calcular $Cov(N,Z)$ .
Lo que he hecho:
Sé que $Cov(N,Z) = E[NZ] -E[N]E[Z]$
Lo que he hecho es tratar de conseguir $E[NZ] = E[\Sigma_{i=1}^N X_i N] =$
$= \Sigma_{n=0}^{\infty} E[\Sigma_{i=1}^N X_i N | N=n] P(N=n)$ =
$= \Sigma_{n=0}^{\infty} E[n\Sigma_{i=1}^n X_i]P(N=n) = $
$= \Sigma_{n=0}^{\infty} n E[\Sigma_{i=1}^n X_i]P(N=n) = $
Como $X_i$ es iid con cualquier otro $X_j$ Sólo utilizo $X_1$
$=\Sigma_{n=0}^{\infty} nE[\Sigma_{i=1}^n X_1]P(N=n) = $
$=\Sigma_{n=0}^{\infty} n^2 X_1 P(N=n) = X_1\Sigma_{n=0}^{\infty} n^2 P(N=n)$
Sé que $\Sigma_{n=0}^{\infty} n P(N=n) = E[N]$ pero ¿qué pasa con $=\Sigma_{n=0}^{\infty} n^2 P(N=n)$ .
Gracias
