Teorema fundamental del cálculo, integral de cota superior a $x$

Question

Supongamos que $f$ se define en el intervalo $[a,b]$ donde $\;a<b\;$ . Según el teorema fundamental del cálculo: $$\frac {d} {dx} \left( \int_{a}^{x}f(t) dt \right) = f(x)$$

¿Qué se puede decir de lo siguiente?: $$\frac {d} {dx} \left( \int_{b}^{x}f(t) dt \right)$$

Answer 1

Si te refieres a $\;x\in[a,b]\;$ y $\;a<b\;$ entonces

$$\frac {d} {dx} \left( \int_{b}^{x}f(t) dt\right)=\frac {d} {dx} \left(- \int_{x}^{b}f(t) dt \right)=-\frac {d} {dx} \left( \int_{x}^{b}f(t) dt \right)=-(-f(x))=f(x)$$

Answer 2

$$\text{They are equal: }\frac d {dx} \int_a^x f(t)\,dt = \frac d {dx} \int_b^x f(t)\,dt. \tag 1$$

$$ \int_a^x f(t)\,dx = \underbrace{\int_a^b f(t) \,dt}_{\large\text{This is a “constant.''}} + \underbrace{\int_b^x f(t)\,dt.}_{\large\text{This is NOT a “constant.''}} \tag 2$$

"Constante", en el contexto de la búsqueda de $\dfrac d {dx}\Big(\cdots\cdots\Big),$ significa sin depender de $x$ .

Cuando se diferencian ambos lados de la línea $(2)$ con respecto a $x,$ la constante desaparece,
línea de cesión $(1).$

Answer 3

Las respuestas anteriores son correctas, y el valor es f(x). Desde un punto de vista intuitivo, puede verse así: a medida que cambia x, el área bajo la curva entre a y x también cambia. El teorema fundamental afirma que la tasa de variación de esa área (es decir, la derivada de la integral) es igual al valor de la función f en x.

Consideremos ahora la tasa de variación del área entre b y x, en lugar de entre a y x. Pues bien, ésta es simplemente el área entre a y x, con algún término constante añadido (ya que el área entre b y x es igual al área entre a y x menos el área entre a y b). Como esa constante es invariable, no importa cuando consideramos la tasa de cambio. Así, el área entre b y x cambia al mismo ritmo que el área entre a y x. Por eso los dos valores que consideras son iguales.

En realidad, esto se aplica a cualquier valor constante (en el intervalo en el que está definida f) que consideremos como límite inferior de la integral.