¿Cuál es la probabilidad de que algún número de la forma $10223\cdot 2^n+1$ es primo?

Question

Yo (David Speyer), se tomó la libertad de hacer una bastante reescritura importante de esta pregunta. Espero que no se han ido demasiado lejos, pero creo que no es una cuestión interesante escondía aquí.

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Sierpinski demostrado que existen infinitos números enteros positivos $k$ tal que $k 2^n+1$ está compuesto por todos los positivos $n$. Tal $k$ se llama un "Sierpinski número de la segunda clase", que voy a acortar a "número de Sierpinski" para el resto de esta pregunta. El más pequeño $k$ que ha demostrado ser un número de Sierpinski es $78557$. Sin embargo, no se conocen los números primos de la forma $10223 \cdot 2^n+1$, lo $10223$ podría ser un número de Sierpinski.

Si se apuesta a que $10223$ fue un número de Sierpinski, con la apuesta arbitrados por un perfectamente honesto, omnisciente ser extraño, ¿qué probabilidades habría de que aceptar?

Esto es particularmente interesante, porque ingenua de un modelo sugiere que no hay números de Sierpinski. Ingenua de un modelo sería: para cada una de las $n$, independientemente escoger un entero aleatorio uniformemente entre $10223 \cdot 2^n+1$$10223 \cdot 2^n (1.001)$. ¿Cuál es la probabilidad de que estos son todos los compuestos?

Utilizando el teorema de los números primos, terminamos mirando $$\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1- \frac{1}{\ln(10223 \cdot 2^n)} \right)$$ y este producto se bifurca a $0$. Pero este producto también diverge a $0$ si se sustituye $10223$$78557$, contradiciendo Sierpinski del teorema.

Así que el reto es dar un mejor modelo probabilístico, y calcular qué resultado da. En un sentido, las respuestas son subjetivas -- usted no será capaz de demostrar rigurosamente un modelo es mejor que otro. Pero sin duda hay argumentos a favor y en contra de diversos modelos. Y, si perfectamente honesto, omiscient, alien corredor de apuestas se presenta en su puerta, no quieres saber cómo apostar?

Answer 1

Primero, respecto a la de Didier pregunta acerca de cómo asignar una probabilidad a algo que es verdadero o falso, yo recomiendo Hacia una Filosofía de la Matemática Real por David Corfield.

En el contexto actual, nos podemos preguntar: Si había alguna manera de determinar si existe al menos un prime en este conjunto, ¿cuál sería el máximo precio al que un racional auto-interesados actor iba a comprar una apuesta para recibir $€1$ en el caso de que resulta que hay uno?

Esto dependerá en un complejo proceso en el actor del conocimiento de la historia de la Sierpinski problema: ¿hasta qué punto este conjunto se ha investigado hasta ahora; ¿hasta dónde los conjuntos correspondientes de los otros números que no resultó ser Sierpinski números tuvo que ser investigado para encontrar los números primos, etc.

Pero supongo que su pregunta no tiene la intención de tomar en cuenta todo esto, y más bien apunta a un hipotético racional de auto-interesados actor que no tiene conocimiento específico de la Sierpinski problema, pero es consciente de más hechos generales acerca de los números primos, incluyendo los resultados de la densidad relacionados con el teorema de los números primos. Un actor puede calcular la "probabilidad" de todos los números en este conjunto está compuesto sobre la base de una independencia de la asunción más o menos como es

$$p=\prod_n\left(1-\frac1{\log\left(10223\cdot2^n+1\right)}\right)\approx\prod_n\left(1-\frac1{\log10223+n\log2}\right)$$

y así

$$\log p\approx\sum_n\log\left(1-\frac1{\log\left(10223\cdot2^n+1\right)}\right)\approx-\sum_n\frac1{\log10223+n\log2}\;.$$

Este logaritmo diverge a $-\infty$, por lo que nuestro hipotético interés propio actor iba a comprar la apuesta a cualquier precio por debajo de $€1$.

Dado que este modelo predice que no hay ninguna Sierpinski números a todos, pero sabemos que hay, la independencia de la asunción es injustificado y sería imprudente a base de apuestas. Para llegar a un sonido más de la evaluación del valor de una apuesta requeriría un análisis en profundidad de la historia de la Sierpinski problema.

[Editar en respuesta a los comentarios:]

Se ha señalado acertadamente que me restó importancia a la posibilidad de que podría ser Sierpinski números a pesar de la "probabilidad" de este ser $0$. Sin embargo, mi conclusión de que un racional auto-interesados actor sería abandonar el ingenuo modelo basado en la suposición de independencia después de enterarse de la existencia de Sierpinski números era correcta.

Vamos a denotar por $I$ la aplicabilidad de la independencia de la asunción, por $S$ la existencia de un Sierpinski número y $A$ la existencia de al menos uno de los primos en el conjunto bajo consideración. Digamos que el actor tenía originalmente grado $P(I)$ de la creencia en la aplicabilidad de la independencia de la asunción y que no sabe la primera cosa sobre Sierpinski números. A continuación, el valor de la apuesta para ella sería $P(A)=P(I)P(A|I)+P(\neg I)P(A|\neg I)$ donde $P(A|I)=1$ es la probabilidad calculada anteriormente y $P(A|\neg I)$ es la probabilidad de que ella le atribuiríamos a $A$ si la independencia de la asunción se encontró que no se aplican. Si su original grado de creencia en la independencia de la asunción es muy alto, es decir, casi el $1$, el valor de la apuesta es de casi el $€1$.

Ahora, al enterarse de que en realidad hay Sierpinski números, suponiendo que esto podría influir en su determinación de $P(A)$ sólo a través de $P(I)$, se llevaría a cabo un Bayesiano de actualización de la siguiente manera:

$$ \begin{eqnarray} P(A|S) &=& P(I|S)P(A|I)+P(\neg I|S)P(A|\neg I) \\ &=&\frac{P(I\cap S)}{P(S)}P(A|I)+\frac{P(\neg I\cap S)}{P(S)}P(A|\neg I)\\ &=& P(A|\neg I)\; \end{eqnarray} $$

desde $P(I\cap S)=0$, ya que la probabilidad de $S$ bajo la suposición de independencia es cero. Por lo tanto $P(A|S) = P(A|\neg I)$, es decir, el aprendizaje de la existencia de Sierpinski números tiene el efecto de abandonar la suposición de independencia.