Continuidad en un punto implica la continuidad en un intervalo?

Question

Si $f(x)$ es continua en a $a$, entonces hay un $\sigma$ tal que $f(x)$ es también continua en $(a-\sigma, a+\sigma)$? Esto se ve muy intuitivo, pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Esto no es cierto. Un ejemplo estándar es $$ f(x)=\begin{cases} x\text{ if }x\in\mathbb{Q}\\ 0\text{ if }x\not\in\mathbb{Q} \end{casos} $$ La función de $f(x)$ es continua en a $x=0$, pero no es continua en cualquier intervalo abierto.

Answer 2

Es falso: la función

$$f(x)=\begin{cases}x,&\text{if }x\text{ is rational}\\-x,&\text{if }x\text{ is irrational}\end{cases}$$

es continua sólo en $x=0$.

Answer 3

No, por ejemplo $$f(x) = \begin{cases} x &\text{ if } x\in\mathbb{Q} \\ -x &\text{ if } x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{casos}$$

a continuación, $f$ es continua en a $x=0$, pero no es continua en $\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)$ ($\forall\varepsilon\gt0$)

Si usted eligió $f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}$ con

$$f(x) = \begin{cases} 1 &\text{ if } x=0 \\ 0 &\text{ if } x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} \\ q^{-1} & \text{ if } x=pq^{-1} \text{ with } p,q\in\mathbb{N} \text{ and } gcd(p,q)=1 \end{casos}$$

a continuación, $f$ vuelve aún continua en todos los irracionales punto, pero usted no puede encontrar cualquier intervalo de $\left(a,b\right)$ $a\neq b$ donde $f$ es continua.

Answer 4

Es un teorema de que la discontinuidad de una función con valores reales es una $F_{\sigma}$, lo que significa que puede ser expresado como una contables de la unión de conjuntos cerrados. Por el contrario, el conjunto de continuo puntos es $G_{\delta}$, lo que significa que es una contables intersección de bloques abiertos. En general, un $G_{\delta}$ no necesita contener un intervalo, entonces la respuesta a tu pregunta es no. Lo que es cierto, sin embargo, es que siempre casi contienen un intervalo, en un sentido preciso.

Vea aquí.