Estudio de estructuras algebraicas análoga a la del anillo de las funciones lisas y el módulo de campos vectoriales

Question

$\newcommand{\Ga}{\Gamma}$

Deje $M$ ser un suave colector. $\Ga(TM)$ es un módulo sobre el anillo de lisa (real) funciones (que también es un álgebra, y se denota por a $C^{\infty}(M)$).

También, cada una de las $X \in \Ga(TM)$ define una derivación en $C^{\infty}(M)$.

Es decir , tenemos dos operaciones:

$(1)$ "producto escalar" (satisface el módulo de axiomas):

$C^{\infty}(M) \times \Ga(TM) \to \Ga(TM) \, , (f,X) \mapsto fX$,

$(2)$ "diferenciación":

$\Ga(TM) \times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M) \, , (X,f) \mapsto Xf$

satisfactorio:

$(1) \, (X+Y)f=Xf+Yf$

$(2) \, (gX)f=g(Xf)$

$(3) \, X(fg)=g(Xf)+f(gX)$ (derivación de la propiedad)

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Hay alguna literatura desde una perspectiva algebraica, en esta situación; yo.e en pares $(M,R)$ donde $M$ $R$- módulo , y también tenemos una "diferenciación" de la operación:

$M \times R \to R \, , (m,r) \mapsto mr$, la satisfacción de:

$(1)$ $(m+m')r=mr+m'r$

$(2)$ $(r'm)r=r'(mr)$

$(3)$ $m(rr')=r(mr')+r'(mr)$

¿Podemos decir algo interesante sobre esta interacción de manera algebraica? Ha este fenómeno ha sido estudiado desde este punto de vista?

Answer 1

En realidad tiene mucho más la estructura de este; lo que es más importante, campos vectoriales tienen también una Mentira soporte, y la Mentira de derivados, da una acción de la correspondiente Mentira álgebra. Una manera de empaquetar todos de esta estructura, es hablar de una Gerstenhaber álgebra estructura en polyvector campos (secciones de exterior poderes de la tangente bundle).

Polyvector campos tienen una multiplicación, pero también tienen una Mentira soporte de grado $-1$ llama la Schouten-Nijenhuis soporte en la que se reproduce tanto en la Mentira de derivados y la Mentira de soporte de campos vectoriales. La interacción entre estos es una versión de la misma interacción de un algebra de Poisson , excepto que hay un montón de signos.