La continuidad de un mapa entre dos espacios métricos

Question

Considerar el mapa de $D:C^{1}([-1,1]) \rightarrow \mathbb{R}:f \mapsto f'(0)$ donde $C^{1}([-1,1])$ es el espacio vectorial de las funciones de $[-1,1]$ $\mathbb{R}$que son al menos una vez diferenciable y un continuo derivado. También considere la posibilidad de la $d_{\infty}$-métrica en $C^{1}([-1,1])$ y la métrica Euclidiana en $\mathbb{R}$ donde $d_{\infty}(f,g)= \sup \{ |f(x)-g(x) |$ donde $x \in C^{1}([-1,1]) \}$.

¿Qué podemos decir acerca de la continuidad de esta función? Sostiene que la $D$ es continua si y sólo si para cada a $f \in C^{1}([-1,1])$ $\epsilon >0$ existe un $\delta >0$, de modo que para cada $g \in C^{1}([-1,1])$, $|f'(0)-g'(0)| < \epsilon$ si $\sup \{ |f(x)-g(x) |$ donde $x \in C^{1}([-1,1]) \} < \delta$. Ahora yo no veo cómo deducir nada sobre la continuidad. Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Una pequeña pista: imaginar una secuencia de funciones periódicas cuya amplitud disminuye, sino que aumenta la frecuencia como $n \to \infty$.

Answer 2

la asignación de $f \to f'(0)$ es la compuesta $E_0 \circ D$ donde: $$ D:C^{1}([-1,1]) \a C^0([-1,1]) $$ es el operador de diferenciación y $$ E_0:C^0([-1,1]) \to \mathbb{R} $$ es la evaluación en cero.

ambos mapas son lineales, y con el $d_{\infty}$ métrica en su dominio, $E_0$ es continua. $D$ suelta el operador asigna una unidad de pelota de round de el origen en el dominio de un conjunto ilimitado en el codominio. los ejemplos que se dan en respuestas anteriores ilustran cómo esto puede ocurrir. Intuitivamente, una $f \in C^{1}([-1,1])$ no es un porcentaje ($g=f' \in C^0([-1,1]) $ para los que $$ \forall x \in [-1,1] \quad f(x) = \int_{-1}^x g(t)dt $$ la condición: $$ \bigg|\int_{-1}^x g(t)dt \bigg| \le 1 $$ no impone ningún límite superior en el valor de $|g(x)|$ localmente