No estoy seguro de por qué este hecho tiene sentido.
Decir $G = \{e, a, a^2\}$
El orden de los elementos de $G$ son irrelevantes en $G$ sí. Entonces, ¿qué $G$ en los 6 elementos de $\operatorname{Sym}(G)$?
Respuestas
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Tenga en cuenta que $G$ no es un subgrupo de (en este caso) el grupo simétrico de a $\{e,a,a^2\}$. Pero $G$ está en un buen camino isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico.
El elemento $e$ es de curso a la identidad de permutación.
El elemento $a$ es llevado a la permutación que se lleva a $e$ a $a$, $a$ a $a^2$, e $a^2$$e$.
Finalmente, $a^2$ es llevado a la permutación que se lleva a $e$ a $a^2$, $a$ a $e$, e $a^2$$a$.
Observación: En general, el elemento $g$ es llevado a la permutación $\pi_g$ $G$ obtiene multiplicando los elementos de la $G$, dicen que en el derecho, por $g$. Es fácil comprobar que $\pi_g \pi_h=\pi_{gh}$ para todos los $g$, $h$ en $G$. Esto nos lleva de la mayoría de la manera de demostrar el isomorfismo resultado.
Alexander Gruber
Puntos
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Puede incrustar cada grupo en $S_n$ donde $n=|G|$. Por ejemplo, el grupo de $G=C_3$ puede incrustar en $S_3$ por la asignación de $a\mapsto (123)$.
Pero ya que usted está buscando una explicación específicamente en $\mbox{Sym}(G)$ (que por cierto es isomorfo a $S_n$), podemos definir la $\sigma_g:G\rightarrow G$$\sigma_g(h)=hg$, y, a continuación, deje $\sigma:G\rightarrow \mbox{Sym}(G)$ ser definido por $\sigma(g)=\sigma_g$. (Esto se llama el "derecho a regular la representación" de $G$.) Es bastante fácil de comprobar esto es un homomorphism. Ahora, si $g\in \mbox{Ker}(\sigma)$, $\sigma_g$ es el trivial de permutación (es decir, $hg=\sigma_g(h)=h$ todos los $h\in G$). Pero esto implica que $g=e$, lo $\sigma$ es inyectiva. Por el primer teorema de isomorfismo $G$ es isomorfo a su imagen, que es un subgrupo de $\mbox{Sym}(G)$.
Así por esta construcción, se puede ver que $G=C_3$ como lo hemos definido, es isomorfo a $\{\sigma_e,\sigma_a,\sigma_{a^2}\}$ como se define arriba. ¿Esta ayuda?
