¿Puede realizarse el complemento de un subconjunto como límite o colímite?

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos conjuntos, y que $f:X\rightarrow Y$ . Consideremos ahora los posets $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ y $(\mathcal{P}(Y),\subseteq)$ como categorías. Las funciones inducidas $f^*$ (función de preimagen), $f_!$ (función de imagen frontal), y $f_*$ (la función que envía $B\subseteq X$ al mayor subconjunto $C$ de $Y$ tal que $f^*(C)\subseteq B$ ) pueden interpretarse como funtores entre dichas categorías.

Estas funciones también conducen a un buen par de adjunciones; a saber, tenemos $f_!\dashv f^*\dashv f_*$

Dado que las uniones pueden realizarse como colímites y las intersecciones como límites, obtenemos una buena explicación categórica de por qué $$f^*\left(\bigcup_{C\in\mathcal{C}}C\right)=\bigcup_{C\in\mathcal{C}}f^* (C)\quad\text{and}\quad f^*\left(\bigcap_{C\in\mathcal{C}}C\right)=\bigcap_{C\in\mathcal{C}}f^*(C)$$

Sin embargo, también tenemos que $$f^*(Y-B)=X-f^*(B) \text{ for all } B\subseteq Y$$

Esto me lleva a preguntarme lo siguiente:

¿Los complementos pueden realizarse como límite o colímite?

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Como señala Zhen, los complementos no pueden describirse mediante límites o colímites. Sin embargo, tenemos la siguiente interpretación:

Recordemos las nociones de categorías monoidales y hogares internos en categorías monoidales. En un poset monoidal, $\underline{\hom}(x,y)$ es el objeto más grande tal que $ \underline{\hom}(x,y) \cdot x \leq y$ . Si $y=0$ es un objeto inicial (es decir, el elemento más pequeño), entonces $\neg x := \underline{\hom}(x,0)$ es el objeto más grande tal que $(\neg x) \cdot x = 0$ .

Si $F : C \to D$ es un functor monoidal entre conjuntos cerrados monoidales, entonces existe un morfismo canónico $F(\underline{\hom}(x,y)) \to \underline{\hom}(F(x),F(y))$ y $F$ se llama cerrado cuando éste es un isomorfismo. Si $F$ está cerrado y $F(0)=0$ , entonces obtenemos $F(\neg x)=\neg F(x)$ .

Si $F$ tiene un adjunto izquierdo $L$ entonces $F$ es cerrado si y sólo si la "fórmula de proyección" $L(x F(y))=L(x) y$ retenciones. Esto es fácil de comprobar y por alguna razón se llama Reciprocidad de Frobenius en el Nlab.

El functor monoidal $f^* : (P(Y),\subseteq,\cap) \to (P(X),\subseteq,\cap)$ está cerrado, porque tenemos $f_!(x \cap f^*(y))=f_!(x) \cap y$ .