número de hojas de cubrir mapa

Question

Supongamos $a,b,c,d$ son enteros con $ad-bc\ne 0$ y escribir el torus $T$ $\{(x,y)\in \mathbb C^2: 1=|x|=|y|\}.$ Considera el mapa de $p: T\to T$ definido por $(x,y)\to (x^ay^b,x^cy^d)$.

Soy capaz de demostrar que $p$ es cubrir el espacio.

Quiero encontrar la cardinalidad $|p^{-1}(x_0)|$ por cada $x_0\en T$.

Podría alguien por favor explique cómo funciona esto?

Answer 1

Vamos a usar $(u, v)$ para el complejo de coordenadas, de modo que podemos escribir $$ u = e^{ix},\quad v = e^{iy}. $$ Desde $a$, $b$, $c$, y $d$ son enteros, el mapa de $p$ envía $(u, v) = (e^{ix}, e^{iy})$ a $$ (u^{a} v^{b}, u^{c} v^{d}) = (e^{(ax + by)i}, e^{(cx + dy)i}). $$ Debe ser evidente que el levante $\hat{f}$ $p$ es como en la pista.

Para contar el número de hojas en la cubierta $p$, consideran que la imagen de algunos de los fundamentales de dominio, tales como la unidad de la plaza de $[0, 1] \times [0, 1]$ bajo $\hat{f}$, y preguntan "¿cuántos unidad de plazas", la imagen se cubre (es decir, ¿cuál es su área?).

El número de hojas es:

$|\det \hat{f}| = |ad - bc|$.