Cis Gráficos (Encontrar Valores)

Question

Para esta pregunta:

Si ustedes no están familiarizados con el $\operatorname{cis}$ notación

$$ \operatorname{cis}(x) = (\cos(x) + i\sin(x)) $$

He intentado hacer esto:

Mediante la comparación de los argumentos

$$ x^2 - x = 0\Longrightarrow x(x-1) = 0\Longrightarrow x = 0 ,~ x = 1 $$ Pero claramente en el gráfico hay más intersecciones y buscando en internet me enteré de que usted puede hacer esto

$$ x^2 = x + 2k\pi $$

Pero, ¿por qué podemos plus $2k\pi$ y el $2k\pi$ tiene que estar en el lado derecho de la ecuación, ¿por qué no puede ser en el lado izquierdo?

Answer 1

$$\text{cis}\left(x^2\right)=\text{cis}(x)\Longleftrightarrow$$ $$\cos\left(x^2\right)+\sin\left(x^2\right)i=\cos(x)+\sin(x)i\Longleftrightarrow$$ $$e^{ix^2}=e^{ix}\Longleftrightarrow$$ $$\ln\left(e^{ix^2}\right)=\ln\left(e^{ix}\right)\Longleftrightarrow$$ $$ix^2=ix\Longleftrightarrow$$ $$x^2=x\Longleftrightarrow$$

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Aviso, si $a,b\in\mathbb{R}$ $k\in\mathbb{Z}$

$a+bi=\sqrt{a^2+b^2}e^{\arg(a+bi)i}=\sqrt{a^2+b^2}e^{\left(2\pi k+\arg(a+bi)\right)i}$

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$$x^2-x+2\pi k=0\Longleftrightarrow$$

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El uso de la abc-fórmula:

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$$x=\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{1-8\pi k}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\text{with}\space k\in\mathbb{Z}$$