Una alternativa a prueba de Fuglede del teorema de

Question

Para demostrar Fuglede del Teorema para el normal de los operadores en un espacio de Hilbert separable, ¿por qué no es suficiente para mostrar que el $E(S_1)T E(S_2)=0$ para todos los distintos conjuntos de Borel $S_1$ $S_2$ donde $E$ es el espectral medida asociada a la normal operador $N$?

Además, ¿por qué esto es cierto para $S_1$ $S_2$ a una distancia el uno del otro, y cómo puede una aproximación compacto conjuntos de ser usado para demostrar que en el caso general?

Answer 1

No estoy exactamente seguro donde tus preguntas son procedentes de (estás leyendo alguna prueba?). Pero he aquí una manera de demostrar el teorema de uso de las ideas relacionadas con las que usted menciona.

La hipótesis es que el $TN=NT$. Por el Teorema Espectral, $$ N=\int_{\sigma(N)}\,\lambda\,dE(\lambda) $$ por cierto espectral de medida $E$, y $$ N^*=\int_{\sigma(N)}\,\overline\lambda\,dE(\lambda). $$ Por definición, tenemos que $N$ es una norma-límite de los operadores de la forma $\sum_j\lambda_jE(S_j)$ (es decir, "funciones simples"), donde $S_1,\ldots,S_n$ es una partición de a $\sigma(N)$, y $$ E(S_j)=\int_{\sigma(N)}\,1_{S_j}(\lambda)\,dE(\lambda). $$ Esta última integral, a su vez, es un wot límite de las integrales de polinomios.

Ahora, ya $TN=NT$, $TN^2=N^2T$, y $TN^k=N^kT$ todos los $k\in\mathbb N$. Por lo $Tp(N)=p(N)T$ para todos los polinomios $p$. A continuación, $TE(S_j)=E(S_j)T$ (véase la segunda edición) para los conjuntos de Borel como en el anterior, y por lo $T$ viajes con todos los operadores de la forma $\sum_j\overline\lambda_j\,E(S_j)$. Como $N^*$ es una norma límite de este tipo de operadores, $T$ viajes con $N^*$.

Edit: voy a dejar la respuesta anterior ya que ahora es mencionado en tu pregunta. Con respecto a la condición que te importa, usted puede usarlo de la siguiente manera: Vamos a $S_1,\ldots,S_n$ ser una partición del espectro de $N$. Entonces $$ TE(S_j)=ITE(s_j)=\sum_kE(S_k)TE(S_j)=E(S_j)TE(s_j). $$ Por lo $TE(S_j)=E(S_j)TE(S_j)$. Hacer el mismo proceso en el lado derecho obtenemos $E(S_j)T=E(S_j)TE(S_j)$. Por lo $TE(S_j)=E(S_j)T$. Es decir, $T$ viajes con el espectro de las proyecciones de $N$, y por lo tanto los desplazamientos con $N^*$.