demostrar que existen infinitos números enteros n, de modo que 3 no divide a $\phi(n)$

Question

demostrar que existen infinitos números enteros n, de modo que 3 no divide a $\phi(n)$

Comencé a mirar el problema con los residuos de las clases de 3. No estoy seguro de si esto es correcto.

Answer 1

Existen infinitos números primos de la forma $3k-1$. La prueba usual de la infinitud de los números primos funciona aquí: Dado $n\ge1$, considere la posibilidad de $(3n)!-1$, la nota es relativamente primos para todos los números menores o iguales a $n$, y al menos uno de sus factores primos tiene la forma $3k-1$.

Ahora, $\phi(p)=p-1$ $p$ prime, y hemos terminado, porque $3$ no divide $3k-2$. Del mismo modo, $\phi(p^n)=p^n-p^{n-1}=p^{n-1}(p-1)$$n>0$, lo que, de nuevo, no es divisible por $3$. Tenga en cuenta que este incorpora las sugerencias de mirar los poderes de $2$ o poderes de $5$ dado en los comentarios.

Podemos decir algo más: $\phi(3)=2$, y, por supuesto, $3$ divide $\phi(3^n)$$n>1$. Si $p$ es un primo de la forma$3k+1$, $\phi(p^n)=p^{n-1}3k$ es un múltiplo de a $3$ cualquier $n>0$. Usando ese $\phi$ es multiplicativo, se deduce que un número $n$ es tal que $3$ no divide $\phi(n)$ iff la factorización prima de $n$ involucra a más de un $3$, y todos sus factores primos son de la forma $3k-1$.