Suponga que tiene varios conjuntos de números, cada uno con una distribución normal. Para cada conjunto, se conoce la desviación estándar y la media. Ahora, si de manera independiente elegir un número al azar de cada grupo, ¿cuál es la probabilidad de que el número elegido de un conjunto dado será mayor que cada uno de los números elegidos de los otros juegos?
Respuesta
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Me gustaría expresar esto en términos de variables aleatorias. Supongamos $X_1, \ldots, X_n$ son independientes normal de las variables aleatorias, con los medios de $\mu_1,\ldots, \mu_n$ y desviaciones estándar $\sigma_1,\ldots,\sigma_n$ respectivamente. La probabilidad condicional de que $X_1$ es mayor dado que el $X_1 = x_1$ es la probabilidad de que $X_2, \ldots, X_n$$\le x_1$, es decir, $\prod_{j=2}^n \Phi \left( \dfrac{x_1 - \mu_j}{\sigma_j}\right)$ donde $\Phi$ es el estándar normal de la función de distribución acumulativa. Por lo tanto la probabilidad de que $X_1$ es mayor es $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_1} \int_{-\infty}^\infty e^{-(x_1 - \mu_1)^2/(2 \sigma_1^2)} \prod_{j=2}^n \Phi \left( \dfrac{x_1 - \mu_j}{\sigma_j}\right) \ dx_1 $$ No espero que esto sea expresable en la forma cerrada en general.
