$S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ . entonces $S_{2^n}$ =?

Question

Dejemos que $S_n$ = $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ . ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

1. $S_{2^n}\ge\frac{n}{2}$ para cada n $\ge1$ .
2. $S_n$ es una secuencia acotada.
3. $|S_{2^n}-S_{2^{n-1}}|\to0$ como n $\to\infty$ .
4. $\frac{S_n}{n}\to1$ como n $\to\infty$ .

Tengo una confusión que si $S_{2^n}$ = $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^n}$ ? o $S_{2^n}$ = $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2^n}$ ?

Answer 1

La segunda interpretación es correcta: $S_{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2^n}$ .

Sugerencia para sus preguntas: tenga en cuenta que $$S_{2^{n+1}}=S_{2^{n}}+\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{2^n+k}\geq S_{2^{n}}+\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{2^n+2^n}=S_{2^{n}}+\frac{1}{2}.$$ Por lo tanto, $S_{2^{n+1}}-S_{2^{n}}\geq 1/2$ y 3) es falso.

Demuestre por inducción que 1) es válida y, por tanto, 2) es falsa. ¿Y la 4)?

P.S. 4) es falso. Tenemos que $$S_{2^{n+1}}=S_{2^{n}}+\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{2^n+k}< S_{2^{n}}+\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}=2S_{2^{n}}.$$ Por lo tanto, la secuencia $(S_{2^{n}}/2^n)_n$ es positivo y estrictamente decreciente, por lo que converge a un límite no negativo $L$ . Desde $S_{1}/1=1$ se deduce que $L<1$ lo que contradice a la 4).

Answer 2

$3)$ y $4)$ se puede rechazar utilizando la fórmula $H_n=\ln{n}+\gamma+O(n^{-1})$ . Es decir: $$3) \lim_\limits{n\to\infty}\left[H_{2^n}-H_{2^{n-1}}\right]=\ln2$$ $$4)\lim_\limits{n\to\infty} \frac{H_n}{n}=\lim_\limits{n\to\infty} \frac{\ln{n}+\gamma+O(n^{-1})}{n}=0$$