Duda acerca de la definición de límite de dos variables

Question

En esta discusión el Hallazgo $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^3+y}$ me encontré con que podemos considerar caminos que no belogs el dominio de $f(x,y)$ a demostrar que un límite no existe, pero mi maestro no estaría de acuerdo.

Yo os propongo la definición de límite, que yo sepa.

Deje $f:\mbox{dom}(f)\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ $(x_0, y_0)$ un punto de acumulación de a $\mbox{dom}(f)$. Decimos que $$\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)}f(x,y)=L$$ if and only if $\forall\varepsilon>0, \ \exists\delta>0$ such that if $(x,y)\in \left(B_{\delta}(x_0,y_0)-\{(x_0,y_0)\}\right)\cap\mbox{dom}(f)$ than $|f(x,y)-L|<\varepsilon$

Para mostrar que un límite no existe, tengo que encontrar dos path $P_1(x,y), P_2(x,y)$ tal que $$P_1(x,y), \ P_2(x,y)\in\mbox{dom}(f)\ \ \ \mbox{locally}$$ and $$\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)}P_1(x,y)=(x_0, y_0)\wedge \lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)}P_2(x,y)=(x_0, y_0)$$ but $$\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)}f(P_1(x,y))=\ell_1\wedge \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(P_2(x,y))=\ell_2$$ with $\ell_1\ne \ell_2$.

En la discusión que he enlazado, he descubierto que puedo elegir todas las rutas posibles... pero esto es extraño para mí, y ahora estoy confundido. Por favor, ayúdame a entender. Gracias.

Answer 1

Anexo: Para aclarar, la cara límite de la definición que uso a continuación se basa en el límite de la definición que he visto en el cálculo de nivel, que es donde creo que esta discusión debe ser dirigido desde su pregunta se parece mucho a una pregunta acerca de los límites en un estándar de Cálculo de 3 platos. Como se discute en los comentarios, es cierto que en la matemática superior una definición ligeramente diferente puede ser utilizado en más generalidad. Parece que has aprendido un Cálculo de 3 versión de esta definición más general, lo cual está bien. Así que lo que realmente se pretende es que estás trabajando con una definición diferente, y en virtud de esta definición original nociones son correctos.

Original respuesta:

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He dejado un comentario en la discusión vinculada. Voy a ampliar sobre ella aquí.

En resumen: Un camino de no estar en el dominio de $f$ no significa que la ruta de acceso puede ser excluido de la consideración en el límite. Lo mismo es cierto en el caso unidimensional así. Cuando queremos $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)$, queremos que de todos los caminos. Justo como cuando queremos $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$, queremos que de todos los caminos.

Considere el caso unidimensional:

En una dimensión, cuando decimos que el $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$ existe, significa que el límite existe como $x$ enfoques $c$ desde todas las direcciones. Así, si no es en una sola dirección, donde el límite no existe, entonces todo el límite de sí mismo (desde todas las direcciones) no existe. En el caso unidimensional, sólo hay dos direcciones: desde la izquierda, $(x \to c^-)$ y el de la derecha $(x\to c^+)$.

Por ejemplo, $\displaystyle \lim_{x\to 0} \sqrt x$ no existe, porque para $f(x) = \sqrt x$, no podemos tener $x \to 0$ sobre el camino de $x < 0$ (es decir, no podemos tener $x \to 0^-$) debido a que esta ruta no está en el dominio de $f$.

$\bigg[$Nota: Nos hacen tener la cara límite de $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \sqrt x = 0$, debido a $x\to 0^+$ está bien para $f(x) = \sqrt x$.$\bigg]$

De forma similar:

En dos dimensiones, cuando decimos que el $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)$ existe, significa que el límite existe como $(x,y)$ enfoques $(a,b)$ desde todas las direcciones. Así, si no es en una sola dirección, donde el límite no existe, entonces todo el límite de sí mismo (desde todas las direcciones) no existe. En el caso bidimensional, hay infinitamente muchas direcciones.

Por ejemplo, $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^3+y}$ no existe, porque para $f(x,y) = \dfrac{x^2y}{x^3+y}$, no podemos tener $(x,y) \to (0,0)$ sobre el camino de $y=-x^3$ debido a que esta ruta no está en el dominio de $f$.

Answer 2

Estás en lo correcto: la mayoría de los autores estarían de acuerdo en que usted necesita considerar los caminos que pertenecen al dominio de $f$. Vamos a tratar de entender por qué.

Considere la función identidad $$id: \{0\} \to \{0\}$$ Está claro que debe de ser continuo y el límite en $0$ existe y es igual a $0$ . Pero si consideramos $0$ como un elemento de $\mathbb{R}$, entonces si se puede tomar cualquier camino de $0$ (no importa si fue definido o indefinido), entonces podríamos tomar la secuencia a lo largo de $\frac{1}{n}$ y dado que la ruta no está definido, el límite no existe, que no tiene ningún sentido! Por lo tanto, vemos claramente que necesitamos considerar los caminos que pertenecen al dominio de $f$.

Como un ejemplo, el límite de $f(x)=\sqrt{x}$ $x \to 0$ existe y es igual a $0$. Cualquiera que diga lo contrario es, probablemente, el uso de una versión simplificada de la definición del límite (probablemente utilizados en clases introductorias como pre-cálculo, tales como el límite existe iff dos límites laterales existen y son iguales) que no es totalmente correcto.