Calcular el área de un conjunto dado

Question

Problema

Tengo el conjunto $D$ definido como:

$$ D=\{(x,y)|x\ge 0, 0 \le y \le 64-81x^2 \} $$

Quiero calcular el área de este conjunto $A(D)$

Intento de solución

Puedes intentar resolver el área de este conjunto mediante sumas / integrales de Riemann. El primer problema es si $x\ge 0$ siempre y $0 \le y \le 64-81x^2$ $y$ tiene que ser menor o igual que $64-81x^2$ pero cuando $x$ es positivo $64-81x^2$ ¿es siempre negativo?

$0\le y\le64-81x^2$ no puede ser cierto cuando $x\ge 0$

¿Cómo se calcula algo así?

Answer 1

No "siempre". Para tener $y\geq0$ , necesitas $64-81x^2\geq0$ Es decir $$ x^2\leq\frac{64}{81}, $$ lo que significa que $x\leq 8/9$ . Así que su área es $$ \int_0^{8/9}(64-81x^2)\,dx=\frac{64\times 8}9-\frac{81\times(8/9)^3}{3} =64\times8\left(\frac19-\frac1{27}\right)=\frac{1024}{27}. $$

Por cierto, esto no tiene nada que ver con las integrales impropias.

Answer 2

$f(x)=64-81x^2$ es una función cuadrática cóncava y es simétrica respecto al $y$ -eje.

Observe que $$f(0)=64>0.$$

Vamos a encontrar $x>0$ tal que $f(x)=0$ .

$$0=64-81x^2$$

$$81x^2=64$$

Por lo tanto, es no negativo a partir de $0$ a $\frac89$ .

$$x=\sqrt{\frac{64}{81}}=\frac89$$

¿Puedes calcular ahora la integral?

Observación: Si se le da una región vacía, el área sería $0$ . Sin embargo, no es el caso de esta pregunta.

Answer 3

$64-81x^2 = 8^2-(9x)^2=0 \iff x = \frac89$ desde $x \ge 0$ en $D$ .

$$\begin{aligned} A(D) &= \int_0^{8/9} (64-81x^2) dx \\ &= [64x - 27x^3]_0^{8/9} \\ &= 64 \cdot \frac89 - 27\left(\frac89\right)^3 \\ &= \frac{512}{9} - 27 \cdot \frac{512}{729} \\ &= \frac{1024}{27} \end{aligned}$$

Answer 4

Un poco de geometría de coordenadas.

$x\ge 0$ , $y\ge 0$ implica

estamos viendo el $1$ Sólo en el primer cuadrante.

Considera la parábola:

$y = 64 - 81x^2$ ,

vértice $(0,64)$ , abriendo hacia abajo.

Resumiendo :

Se quiere encontrar el área delimitada por $X-,Y-$ ejes, y por $y = 64-81x^2.$

Set $y=0$ para encontrar el punto de intersección con el $X-$ eje.

$64-81x^2=0; $

$x_1=\sqrt{\dfrac{64}{81}}=8/9.$

(Ya que estamos confinados en el $1$ cuadrante sólo interesa la raíz positiva).

La zona: $A = \displaystyle \int_{0}^{8/9}(64-81x^2)dx.$

Queda por realizar la integración.