¿Cómo calcular el área de la porción de un paraboloide cortada por un plano?

Question

Cómo calcular:

El área de esa porción del paraboloide $x^2+z^2=2ay$ que está cortada por el plano $y=a$ ?

Creo que tengo que calcular $\iint f(x,z) dx dz$ , donde $f(x,z)=\sqrt{(x^2+z^2)/2a}$ pero no puedo averiguar cuáles deberían ser los límites de la integración. Por favor, ayúdenme. Gracias de antemano.

Answer 1

El problema equivale a encontrar el volumen del sólido limitado desde arriba por $z=a$ y limitada por debajo por la superficie $x^2+y^2=2az$ . Así que el volumen $V$ es el volumen del cilindro con base como $x^2+y^2=2a^2$ y la altitud $z=a$ menos el volumen bajo $x^2+y^2=2az$ y por encima del disco $x^2+y^2\leq2a^2$ . Así:

$$V=2a^2\pi a-\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2a}\frac{r^2}{2a}rdrd\theta=2a^3\pi-\frac{2\pi}{2a}\frac144a^4=\pi a^3.$$

Answer 2

Así que tenemos el paraboloide $x^2+z^2=2ay$ y el avión $y=a$ . Permítanme girar todo el tinglado: esto es lo mismo que $x^2+y^2=2az$ cortada por $z=a$ . Sólo para facilitar mi imaginación 3D :).

La imagen muestra el paraboloide para $a=\frac12$ Así que es $x^2+y^2=z$ . La sección de la que debemos encontrar el área es evidentemente un círculo. Así que sólo necesitamos el radio.

Reescribamos la ecuación: $z=\frac{x^2+y^2}{2a}$ . Admitiendo, por supuesto, $a\neq0$ . Naturalmente, $x^2+y^2=r^2$ Así que $z=\frac{r^2}{2a}$ . Pero $z=a$ Así que $a=\frac{r^2}{2a}$ , lo que significa que $r=\sqrt2a$ . Por lo tanto, el área de la sección será $\pi r^2=2\pi a^2$ .

Para $a=0$ la ecuación se convierte en $x^2+y^2=2\cdot0z=0$ , por lo que es una línea. La sección es un punto, ya que el plano de corte no es un plano en el que esté contenida la recta, por lo que el área de la sección es 0.

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Parece que he entendido mal el problema. Se supone que debemos encontrar el área de la parte amarilla, no el área de la sección transversal. Intentemos entonces parametrizar esa superficie. Si tomamos la $z=a$ plano como $z=0$ el paraboloide tendrá la gráfica $z=\frac{x^2+y^2}{2a}-a$ . Así que sólo tenemos que integrar eso sobre el círculo con centro 0 y radio el encontrado antes, que era $\sqrt2a$ . Por lo tanto, el área será:

\begin {align*} -A={}& \int\limits_ {B(0, \sqrt2a )} \left ( \frac {x^2+y^2}{2a}-a \right )dxdy=-a \times\pi ( \sqrt2a )^2+ \int\limits_ {B(0, \sqrt2a )} \frac {x^2+y^2}{2a}dxdy={} \\ {}={}&-2 \pi a^3+ \int\limits_0 ^{2 \pi } \left ( \int\limits_0 ^{ \sqrt2a } \frac {r^2}{2a}rdr \right )d \theta =2 \pi\left (-a^3+ \int\limits_0 ^{ \sqrt2a } \frac {r^3}{2a}dr \right )=2 \pi\left (-a^3+ \frac {r^4}{8a} \Big |_{0}^{ \sqrt2a } \right )={} \\ {}={}&2 \pi\left ( \frac {4a^4}{8a}-0-a^3 \right )= \pi (a^3-2a^3)=- \pi a^3. \end {align*}

Naturalmente, deberíamos haber esperado un resultado negativo al integrar una función negativa, por lo que dije $-A$ es la integral. $A$ es un área, por lo que debe ser positiva, y será $A=\pi a^3$ . Me pregunto si es una coincidencia que obtenga el mismo resultado que la otra respuesta de "volumen" o no lo es. Si el contestador se explayara sobre su supuesta equivalencia

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Lo siento, debo estar pensando en otra cosa. Lo anterior es efectivamente el volumen. Para encontrar la superficie, debo calcular una integral de superficie. Permítanme parametrizar la superficie:

$$\sigma(x,y)=\left(x,y,a-\frac{x^2+y^2}{2a}\right),$$

con $(x,y)\in B(0,\sqrt2a)$ . OK, lo giré para tener $z>0$ . El área no cambiará. La integral de superficie será la integral sobre la bola $B(0,\sqrt2a)$ de $\|\partial_x\sigma(x,y)\times\partial_y\sigma(x,y)\|$ , donde, $\partial$ es la derivada parcial a nivel de componentes y $\|\cdot\|$ es la norma euclidiana estándar. Pasemos entonces a los cálculos. Las derivadas:

\begin {align*} \partial_x\sigma (x,y)={}& \left (1,0, \frac {1}{2a \sqrt {x^2+y^2}}2x \right ), \\ \partial_y\sigma (x,y)={}& \left (0,1, \frac {1}{2a \sqrt {x^2+y^2}}y \right ). \end {align*}

El producto vectorial:

\begin {align*} \partial_x\sigma (x,y) \times\partial_y\sigma (x,y)={}& \left | \begin {array}{ccc} i & j & k \\ 1 & 0 & \frac {x}{2a \sqrt {x^2+y^2}} \\ 0 & 1 & \frac {y}{2a \sqrt {x^2+y^2}} \end {array} \right |={} \\ {}={}&i \left (- \frac {x}{2a \sqrt {x^2+y^2}} \right )-j \left ( \frac {y}{2a \sqrt {x^2+y^2}} \right )+k= \left ( \begin {array}{c} - \frac {x}{2a \sqrt {x^2+y^2}} \\ - \frac {y}{2a \sqrt {x^2+y^2}} \\ 1 \end {array} \right )={} \\ {}={}&(- \nabla\sigma_3 (x,y),0)+(0,0,1). \end {align*}

Como esos dos vectores son ortogonales, la norma de su suma es la suma de las normas, lo que significa:

$$\left\|\partial_x\sigma(x,y)\times\partial_y(x,y)\right\|=\|\nabla\sigma_3(x,y)\|+1.$$

Esta parece ser una fórmula general para las áreas de las superficies de las gráficas de las funciones cartesianas, es decir, siempre que se quiera el área de una superficie $\sigma(x,y)=(x,y,f(x,y))$ el área es la integral sobre el dominio de $\sigma$ de $\|\nabla f(x,y)\|+1$ . En nuestro caso, el gradiente se normaliza a $\frac{1}{2|a|}$ por lo que obtendremos un área de $(\frac{1}{2|a|}+1)\pi(\sqrt2a)^2$ . Lo cual es bastante diferente de lo que dice la otra respuesta, así que pido al que responde que señale cualquier error mío :).