Determinar el número de formas de n parejas de pie en una línea, de modo que nadie está al lado de su pareja o de (explicación de la respuesta)

Question

No estoy muy seguro de si estoy en la comprensión de la solución al siguiente problema: "Determinar el número de formas de n parejas de pie en una línea, de modo que nadie está al lado de su compañero."

El enfoque general parece ser la de:

1. Permitir |U| para ser el número total de arreglos posibles para n parejas (o 2n personas); luego, |U| = (2n)!

2. Deje $X_i$ = Conjunto de acuerdos en los cuales pareja que está de pie juntos; a continuación, $X_1\cup X_2 \cup X_3 \ldots \cup X_n$ es el conjunto de disposiciones, en donde uno o más parejas están de pie juntos.

Estoy bien con el conjunto hasta este punto, pero no estoy seguro de cómo la esta parte se deriva:

$|X_{i_1} \cap X_{i_2} \cup \ldots X_n| = 2^k(2n-2k+k)$

Creo $2^k$ viene el número de permutaciones por pareja - por ejemplo, cada pareja puede estar en dos maneras. Sin embargo, no estoy seguro de cómo la $(2n-2k+k)$ fue derivado.

Si alguien podría ayudar a explicar, eso sería genial - gracias!

Answer 1

Para $k$ específicas de las parejas que quieran $2^k (2n-2k+k)!$. Su explicación de la $2^k$ es correcta. Para el resto, poner los dos miembros de cada una de las $k$ de las parejas en una bolsa. Que deja a $2n-2k$ personas y $k$ bolsas, de un total de $2n-2k+k$ objetos, que se pueden organizar en $(2n-2k+k)!$ maneras.