Comprobación de una prueba de límite

Question

Tengo que probar que $\displaystyle \lim_{x \to c} \sqrt{x}=\sqrt{c},\;c>0, x>0$

Por lo que tengo que demostrar que dado cualquier $\epsilon>0$, existe un $\delta>0$ que para todos x en el dominio $0<|x-c|<\delta$ implica $|\sqrt{x}-\sqrt{c}|<\epsilon$

Por lo que tengo

$|\sqrt{x}-\sqrt{c}|=|x-c|/(\sqrt{x}+\sqrt{c})<|x-c|/\sqrt{c}<\epsilon$,

Así que para cualquier $\epsilon$ > 0, dejo $\delta=\sqrt{c}\epsilon$,

Así que ahora

$|\sqrt{x}-\sqrt{c}|=|x-c|/(\sqrt{x}+\sqrt{c})<|x-c|/\sqrt{c}|<\delta/\sqrt{c}=\epsilon\sqrt{c}/\sqrt{c}=\epsilon$

¿Funciona esta prueba?

Answer 1

Como se mencionó en los comentarios, la prueba es correcta.

Answer 2

Usar delta = mínimo de su delta y c. Esto obligaría a x sea positiva y en el dominio. (No necesita especificar esas condiciones.)