Condición para una función $\widetilde \phi:\mathbb{H}\rightarrow \mathbb{H}$ a descender a $S_g$

Question

Deje $S_g$ ser cerrado y orientado a la superficie de género $g\ge 2$ y corregir cualquier universalización de la cobertura $\pi:\mathbb{H}\rightarrow S_g$. El grupo $\pi_1(X)$ actúa en $\mathbb{H}$ a través de la monodromy acción. Dado $\widetilde x\in \mathbb{H}$$[\gamma]\in \pi_1(X)$$[\gamma]\cdot \widetilde x=\widetilde \gamma(1)\in \mathbb{H}$: una primera considera a cualquier representante de $\gamma$ $[\gamma]$ con base en $\pi(\widetilde x)$, $\widetilde \gamma$ es el levantamiento de $\gamma$ $\mathbb{H}$tal que $\widetilde \gamma(0)=\widetilde x$.

Estoy tratando de entender completamente universal cubre, elevaciones y homotopy, así que me gustaría saber si mis afirmaciones siguientes son verdaderas:

Es mi entendimiento de que cualquier función continua $\widetilde \phi:\mathbb{H}\rightarrow \mathbb{H}$ desciende a una función $ \phi:S_g\rightarrow S_g$ si hay un endomorfismo $\phi_*:\pi_1(X)\rightarrow \pi_1(X)$ tal que los resultados de la $\widetilde\phi([\gamma]\cdot x)=\phi_*([\gamma])\cdot \widetilde\phi(x)$. A continuación, $\phi_*$ es el mapa inducida por $\phi$$\pi_1(X)$.

En particular, cualquier función continua $\widetilde f:\mathbb{H}\rightarrow \mathbb{H}$ tal que $\widetilde f([\gamma]\cdot x)=[\gamma]\cdot \widetilde f(x)$ por cada $x\in \mathbb{H}$ $[\gamma]\in \pi_1(X)$ desciende a una función $f:S_g\rightarrow S_g$ tal que $f_*=Id$.

Esta es mi prueba: dada cualquier función continua $\psi:S_g\rightarrow S_g$ uno tiene el siguiente diagrama de desplazamientos $$\begin{array} $\mathbb{H} & \stackrel{\widetilde \psi}{\longrightarrow} & \mathbb{H}\\ \downarrow{\pi} & & \downarrow{\pi} \\ S_g & \stackrel{\psi}{\longrightarrow} & S_g \end{array} $$ y que, por tanto, ha $\psi(\gamma)=\pi(\widetilde \psi(\widetilde \gamma))$ (cuando, antes de $\widetilde \gamma$ es la elevación tal que $\widetilde \gamma(0)=\widetilde x$). Esto implica $$\widetilde{\psi(\gamma)}(1)=\widetilde \psi(\widetilde \gamma(1))$$ donde $\widetilde{\psi(\gamma)}$ es el levantamiento de $\psi(\gamma)$ tal que $\widetilde{\psi(\gamma)}(0)=\widetilde \psi(\widetilde x)$. Finalmente, una de las notas de $\widetilde \psi(\widetilde \gamma(1))=\widetilde \psi(\gamma\cdot \widetilde x)$$\widetilde{\psi(\gamma)}(1)=[\psi(\gamma)]\cdot \widetilde \psi(\widetilde x)=\psi_*[(\gamma)]\cdot \widetilde \psi(\widetilde x)$.

En consecuencia, cualquier función continua $\widetilde \phi:\mathbb{H}\rightarrow \mathbb{H}$ a tales bienes descenderá a $S_g$.

Es mi razonamiento correcto? Si no, qué otras condiciones debe tener una función continua $\widetilde \phi:\mathbb{H}\rightarrow \mathbb{H}$ satisfacer para descender a una función de $\phi:S_g\rightarrow S_g$? Y, en particular, a una función tal que $\phi_*=Id$?

Answer 1

En primer lugar, su definición de la acción de la $\pi_1$ $\mathbb{H}$ es malo y mucho de lo que dices no tiene sentido, porque tiene completamente abandonados basepoints. No hay tal cosa como $\pi_1(S_g)$. No sólo es $\pi_1(S_g,x)$ para cualquier punto de base $x\in S_g$.

Aquí hay una manera correcta de estado de todo. Nada de esto es especial para superficies, así que voy a considerar arbitraria de espacios. Deje $X$ ser una ruta conectada espacio con $\pi:Y\to X$ una cobertura universal. Fijar un punto de base $x_0\in X$ y un punto de base $y_0\in\pi^{-1}(x_0)$. A continuación, $\pi_1(X,x_0)$ actúa en $Y$ como sigue. Dado $[\gamma]\in\pi_1(X,x_0)$$y\in Y$, elija una ruta de $\delta$$y_0$$y$$Y$. A continuación, podemos concatenar $\pi\delta$ $\gamma$ para obtener un camino de $\gamma*\pi\delta$$x_0$$\pi(y)$$x$. Deje $\epsilon$ ser el ascensor de $\gamma*\pi\delta$ a un camino de $Y$ a partir de a $y_0$. A continuación definimos $[\gamma]\cdot z=\epsilon(1)$.

En cuanto a la declaración que usted está pidiendo para ser verdad, no tiene sentido, de nuevo a causa de basepoints: un mapa de $\phi:X\to X$ no inducir a un endomorfismo de $\pi_1(X)$. En su lugar, se induce un homomorphism de $\pi_1(X,x_0)\to \pi_1(X,\phi(x_0))$ para cualquier elección de punto de base $x_0$. Usted consigue solamente un endomorfismo si $\phi(x_0)=x_0$.

También parece ser confluir dos preguntas diferentes: cuando un mapa de $\phi:S_g\to S_g$ que existe y lo que puede decir acerca de la inducida por el mapa en $\pi_1$. Le han dado un argumento para la segunda pregunta, pero no la primera pregunta, pero se han enunciado mucho de tu post como si la primera pregunta es su principal interés. De hecho, la primera pregunta es más bien trivial. Desde cualquier cubriendo mapa es un cociente de mapa, la única condición necesaria para que un mapa de $\widetilde{\phi}:Y\to Y$ a hacer un mapa de $\phi:X\to X$ es que para todos los $y,y'\in Y$, $\pi(y)=\pi(y')$ implica $\pi(\widetilde{\phi}(y))=\pi(\widetilde{\phi}(y'))$. Esto implica que usted consigue una buena definición de mapa de conjuntos de $\phi:X\to X$, la cual es automáticamente continua desde $\pi$ es un cociente de mapa.

Como para la acción en $\pi_1$, su declaración y la prueba son correctos si además se asume que el $\phi(x)=x$ y están hablando sobre el grupo fundamental de la con $x$ como el punto de base. Más generalmente, si usted toma el $\phi_*$ a en lugar de ser un homomorphism $\pi_1(X,x)\to\pi_1(X,x')$$\phi(x)=x'$, el argumento se trabaja para mostrar que $\phi_*$ es la inducida por el mapa en $\pi_1$.