Existencia de coproductos y productos en la categoría

Question

Soy muy principiante en la teoría de categorías, y la pregunta que hago aquí está relacionada con algún ejemplo de la teoría de categorías que viene de teoremas simples en la teoría de anillos.

Es un hecho: Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad. Si l.c.m. de $a,b$ en $R$ existe entonces $g.c.d.$ existe.

Ahora vamos a movernos en la teoría de la categoría con un ejemplo concreto. Sea $R$ sea un anillo con unidad. Definir una categoría de la siguiente manera:

Objetos: miembros de $R$ .

Morfismos: si $a$ divide $b$ en $R$ , dejemos que $k_a^b$ denotan un morfismo, o.w. ningún morfismo entre $a$ y $b$ .

Así, el conjunto de morfismos entre $a$ y $b$ es o bien singleton (cuando $a$ divide $b$ ) o vacío.

Entonces el coproducto de dos objetos en esta categoría es l.c.m. y el producto es g.c.d. Por supuesto, el producto o coproducto de dos objetos puede no existir en esta categoría, para ciertos anillos $R$ .

Ahora el hecho mencionado al principio dice que

si existe el coproducto de dos objetos de la categoría anterior, entonces también existe el producto de los mismos dos objetos.

Mi pregunta natural es si este fenómeno se produce en todas las categorías, es decir

Pregunta: Si $\mathcal{C}$ es una categoría cualquiera, y si el coproducto de dos objetos $A,B$ en $\mathcal{C}$ existe, entonces es necesario que el producto de $A$ y $B$ ¿también existe?

---

Por favor, haga correcciones en la configuración si hay errores en la presentación de las declaraciones de la teoría de la categoría; como se dijo inicialmente, soy muy principiante en la teoría de la categoría.

Answer 1

En general, no. Simplemente tome una categoría con tres objetos $a,b,c$ y aparte de los morfismos de identidad sólo dos morfismos $a\to c$ y $b \to c$ . Entonces $c$ es el coproducto de $a$ y $b$ pero su producto no existe. En la categoría opuesta, encontrará productos con nuestros co-productos.

Esto está relacionado con el teorema de Birkhoff en la teoría de celosías: si una celosía tiene todos los encuentros, entonces tiene todas las uniones (y viceversa). Cuando un entramado se ve como una categoría, ese teorema se convierte en: si una categoría fina tiene todos los límites, entonces tiene todas las colimaciones (y viceversa). Para las categorías arbitrarias esto también es cierto, pero hay que exigir realmente que existan todos los límites, es decir, no sólo los pequeños, pero entonces por el teorema de Freid tal categoría debe ser delgada, por lo que se reduce de nuevo a la configuración anterior. Por supuesto, hay muchos ejemplos de categorías completas que no son cocompletas, por lo que las cuestiones de tamaño desempeñan un papel fundamental.