He estado leyendo a través de mis notas y me encontré con este ejemplo y me resultaba difícil de entender, así que necesito un poco de ayuda en la explicación de cómo la inversa de este se encuentra.
El conjunto $\mathbb Q(\sqrt 2)=\{a+b\sqrt2$: $a,b$ en $\mathbb Q \}$ es un campo. El inverso de un elemento $a+b\sqrt 2$$ \mathbb Q(\sqrt 2$) es
$$\frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2} $$
¿Alguien puede explicar cómo la inversa se ha encontrado? Agradezco su ayuda.
Considere la posibilidad de un arbitrario $a + b \sqrt{2}$. A partir de nuestra experiencia con los números reales, sabemos que el inverso del elemento se $\frac{1}{a + b\sqrt{2}}$. Sin embargo, este no es el "estándar" de forma para elementos en $\mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \{x + y\sqrt{2} : x, y \in \mathbb{Q}\}$.
La manera de conseguir esto en la forma que nosotros queremos es multiplicando el supuesto inverso por $\frac{a - b\sqrt{2}}{a - b\sqrt{2}}$. Y así obtenemos:
$$\frac{1}{a + b\sqrt{2}} \cdot \Bigg(\frac{a - b\sqrt{2}}{a - b\sqrt{2}}\Bigg) = \frac{a-b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2} = \frac{a}{a^2 - 2b^2} + \Bigg(\frac{-b}{a^2-2b^2}\Bigg)\sqrt{2}$$
Y esto es de hecho lo que quieras desde la $\frac{a}{a^2 -2b^2}, \frac{-b}{a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Q}$.
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