¿Por qué son estos límites finitos?

Question

Yo soy de la resolución de una prueba y tener problemas para la solución de esta tarea: dada una función derivable $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ f(0) = f(1) = 0$, son los siguientes límites finitos:

$$ (a) \lim_{n \rightarrow +\infty} nf\left(\frac{1}{n}\right) $$

$$ (b) \lim_{n \rightarrow +\infty} nf\left(\frac{n+1}{n}\right) $$

$$ (c) \lim_{n \rightarrow +\infty} nf\left(\frac{n}{n+1}\right) $$

¿Por qué son los límites finitos (sé que todos lo son)?

Answer 1

a) $$ \lim_{n\to\infty}n\f\Bigl(\frac1n\Bigr)=\lim_{n\to\infty}\frac{f(1/n)-f(0)}{1/n}=f'(0). $$ Esto puede ser adaptado para el tratamiento de b) y c).

Answer 2

El siguiente es inútil después de la OP agregada la información que $f$ es diferenciable sin Embargo, dejo la respuesta, como se puede mostrar (al menos para el OP, que no se molestan en mencionar), que sin la diferenciabilidad de la respuesta puede ser totalmente diferente.

No se han especificado que si $f$ es continua. Si no lo es, los límites de la necesidad que ni siquiera existen, y si lo hacen, puede ser cualquier cosa.

Supongamos $f$ es continua. Entonces, sabemos que $f(0)=f(1)=0$, y, desde el $f$ es continua, $f(x)$ tiene que ser pequeño alrededor de $0$$1$. Cómo de pequeño? No lo suficiente, me temo.

Por ejemplo, supongamos $f(x)=\sqrt{x(1-x)}$,$n\to\infty$, tenemos

$$nf(1/n)=n\sqrt{\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)}=\sqrt{n}\sqrt{1-\frac{1}{n}}\to\infty$$

Asimismo, $f(n/(1+n))\to\infty$. Sería fácil encontrar un ejemplo para que el tercer límite es infinte así. También es fácil hacer una $f$ tal que estos límites no existen: por ejemplo, hacer $f(1/n)$ de la orden de $1/\sqrt{n}$$n\to\infty$, y oscilante.

Answer 3

Sugerencia: utilice $f(x+h)=f(x)+f'(x)h+o(h)$ al $h\to 0$.

El hecho crucial es que el $f$ es diferenciable en a$0$$1$, que, por definición, significa que puede ser aproximada por lineal de la función en estos puntos.