Distribución de la probabilidad de 1-dimensional de paseo aleatorio con pausas

Question

El problema se podría enunciarse de la siguiente manera : tenemos un poco de azar walker en una desenfrenada 1-dimensional de celosía, de tal manera que hay un 50% de probabilidad de que el caminante no se mueve en absoluto, un 25% de probabilidad de que el caminante se mueve a la izquierda, y un 25% de probabilidad de que el caminante se mueve a la derecha. ¿Cuál es la probabilidad de que el andador se termina en algún punto de la red en $N$ pasos?

Si ahora nos indican la posición de los walker como un entero, es decir, $1$ haría referencia a moverse con un sitio en la red a la derecha, y $-1$ haría referencia a mover a la izquierda. Entonces, ¿qué clase de una distribución podría describir la probabilidad de que la en $N$ pasos de la walker iba a terminar en algún punto específico en el entramado? Mi intuición me dice que estoy buscando sumas de los términos en una $N$-tupla que suman hasta el punto en el sitio. Por ejemplo, la tupla descrito por $(1,1,-1,0,...,0)$ pondría el walker en $1$ para el punto final.

Answer 1

Consideramos pasos independientes en $\mathbb{Z}$ con tres posibles resultados $\{-1,0,1\}$ y probabilidades

\begin{align*} \mathbb{P}(X=-1)&=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{4}\qquad\text{and}\qquad\mathbb{P}(X=0)=\frac{1}{2} \end{align*}

Nos fijamos en los paseos con la longitud de la $N\geq 0$ a partir de $0$.

Estos paseos se siga un trinomio de la distribución, que es una instancia específica de distribuciones multinomiales. \begin{align*} \mathbb{P}(X_{-1}=a,X_{0}=b,X_{1}=c)&=\binom{N}{a,b,c}\left(\frac{1}{2}\right)^{2a+b+2c}\\ &=\frac{N!}{a!b!c!}2^{-2a-b-2c} \end{align*} con $a+b+c=N$ $a,b,c\geq 0$

La probabilidad de inicio a las $0$ y parar en $K$ después $N$ pasos es \begin{align*} \sum_{{a+b+c=N}\atop{{-a+c=K}\atop{a,b,c\geq 0}}}\binom{N}{a,b,c}\left(\frac{1}{2}\right)^{2a+b+2c}\qquad N\geq 0, -N\leq K \leq N \end{align*}

Nota: Este archivo presenta algunos hechos básicos sobre el trinomio de distribución.