¿Cómo visualizar $\operatorname{Lie}(\operatorname{GL}_n)=\mathfrak{gl}_n$ en característica positiva?

Question

Me gustaría una explicación intuitiva de por qué la Mentira de álgebra de $\operatorname{GL}_n$ $\mathfrak{gl}_n$ cuando se trabaja sobre los campos de característica positiva. A continuación reproduzco cómo puedo "ver" este hecho en el carácter $0$, pero mi intuición se rompe por la característica $p>0$.

Supongamos $k$ tiene características de las $0$. A continuación, se puede visualizar $I_n$ como un punto en $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Q})\subset \mathbb{Q}^{n^2}$ que tiene determinante igual a $1$. Desde $1$ está "lejos" de $0$ en la métrica usual dado a $\mathbb{Q}^{n^2}$, y dado que el determinante es continua, el punto de $I_n\in\mathbb{Q}^{n^2}$ está "lejos" de el cero, el locus de la determinante dentro de $\mathbb{Q}^{n^2}$. De ello se desprende que las matrices obtenidas de $I_n$ por lo suficientemente pequeñas perturbaciones en cualquier dirección son aún invertible, y por lo tanto el espacio de la tangente en $I_n$ es de $\mathbb{Q}^{n^2},$ que cuando está equipado con la habitual soporte que le da $\mathfrak{gl}_n$.

Cuando yo trabajo a través de este argumento, en mi cabeza estoy imaginando Euclidiana $3$-espacio dentro de que es un one-dimensional de la curva, que es el cero, el locus de la determinante. Desde el complemento de la curva es abierta, la identidad (que se encuentra fuera de la curva) está contenida en una bola que no se cruzan la curva. Por lo tanto, cualquier vector es un vector tangente a la identidad (el dominio de cualquier curva que pasa a través de la identidad pueden ser adecuadamente restringido a estar completamente en el interior de la bola).

Observe cómo esta imagen y la intuición romper porque si $k$ ha característica positiva, no estoy exactamente seguro de lo que significa para $1$ a "lejos" de $0$. ¿Alguien puede compartir conmigo cómo esta visualización se aplica en característica positiva, o tal vez compartir conmigo una diferente manera de "ver" que el espacio de la tangente de $\operatorname{GL}_n$$I_n$$\mathfrak{gl}_n$. Nota realmente estoy buscando la imagen de este hecho en mi mente, yo no estoy interesado en un sentido estrictamente la prueba de álgebra.

Answer 1

La pregunta principal es ¿qué podemos incluso decir por "la Mentira álgebra de $\text{GL}_n(k)$" si $k$ es cualquier campo distinto de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, mucho menos de un campo de característica positiva.

Una definición más $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ es que es el espacio de la tangente a la identidad; pero ¿qué significa eso para un grupo que no tiene la estructura de una Mentira grupo? Otra definición es que es el espacio de un parámetro subgrupos; pero incluso en el caso de $\text{GL}_n$ donde podemos definir estas usando la matriz de exponenciación, el problema es que la matriz de exponenciación no está bien definido, incluso más de $\mathbb{Q}$, digamos en un campo de característica positiva.

La definición correcta en este nivel de generalidad implica el reconocer que $\text{GL}_n$ es un algebraica de grupo, y una de las muchas cosas maravillosas acerca algebraica de los grupos es que nos puede directamente hacer sentido de lo que es un "elemento infinitesimal" de una expresión algebraica grupo. Es decir, podemos definir directamente a $\mathfrak{gl}_n(k)$ a constar de los elementos de $\text{GL}_n(k)$ "infinitesimalmente cerca de la identidad"; estos son precisamente los elementos en el núcleo de la natural mapa

$$\text{GL}_n(k[\varepsilon]/\varepsilon^2) \to \text{GL}_n(k).$$

(Esta es, esencialmente, un cálculo de la Zariski el espacio de la tangente a la identidad.) Entonces es un ejercicio fácil para demostrar que este núcleo se compone de las matrices de la forma $I + \varepsilon M$ donde $M \in M_n(k)$; el punto es que todas las matrices son invertible porque tienen inverso $I - \varepsilon M$.